Упражнение 352 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((x^2 - 16)(x + 17) > 0\)

\((x - 4)(x + 4)(x + 17) > 0\)

\((x - 4)(x + 4)(x + 17) = 0\)

или \(x - 4 = 0\)

       \(x = 4\)

или \(x + 4 = 0\)

       \(x = -4\)

или \(x + 17 = 0\)

       \(x = -17\)

Ответ: \(x \in (-17,-4)\cup(4,+\infty).\)

б) \(\left(x - \dfrac{2}{3}\right)(x^2 - 121) < 0\)

\(\left(x - \dfrac{2}{3}\right)(x - 11)(x + 11) < 0\)

или \(x - \dfrac{2}{3} = 0\)

       \(x = \dfrac{2}{3}\)

или \(x - 11 = 0\)

       \(x = 11\)

или \(x + 11 = 0\)

       \(x = -11\)

Ответ: \(x \in (-\infty,-11)\cup\left(\dfrac{2}{3},11\right).\)

в) \(x^3 - 25x < 0\)

\(x(x^2 - 25) < 0\)

\(x(x - 5)(x + 5) < 0\)

\(x(x - 5)(x + 5) = 0\)

или \(x = 0\)

или \(x - 5 = 0\)

       \(x  = 5\)

или \(x + 5 = 0\)

       \(x = -5\)

Ответ: \(x \in (-\infty,-5)\cup(0,5).\)

г) \(x^3 - 0{,}01x > 0\)

\(x(x^2 -0,01) > 0\)

\(x(x - 0,1)(x + 0,1) > 0\)

\(x(x - 0,1)(x + 0,1) = 0\)

или \(x = 0\)

или \(x - 0,1 = 0\)

       \(x  = 0,1\)

или \(x + 0,1 = 0\)

       \(x = -0,1\)

Ответ: \(x \in (-0,1; 0) \cup (0,1; +\infty)\)

д) \((x^2 - 9)(x^2 - 1) > 0\)

\((x - 3)(x + 3)(x - 1)(x + 1) > 0\)

\((x - 3)(x + 3)(x - 1)(x + 1) = 0\)

или \(x - 3 = 0\)

       \(x  = 3\)

или \(x + 3 = 0\)

       \(x = -3\)

или \(x - 1 = 0\)

       \(x  = 1\)

или \(x + 1 = 0\)

       \(x = -1\)

Ответ: \(x \in (-\infty,-3)\cup(-1,1)\cup(3,+\infty).\)

е) \((x^2 - 15x)(x^2 - 36) < 0\)

\(x(x - 15)(x - 6)(x + 6) < 0\)

\(x(x - 15)(x - 6)(x + 6) = 0\)

или \(x = 0\)

или \(x - 15 = 0\)

       \(x  = 15\)

или \(x - 6 = 0\)

       \(x = 6\)

или \(x + 6 = 0\)

       \(x = -6\)

Ответ: \(x \in (-6,0)\cup(6,15).\)

Пояснения:

Приемы разложения на множители:

- вынесение общего множителя за скобки:

\(ax + bx^2 = x(a+bx)\);

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

После разложения на множители при решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \(x^5 - x^3 = 0\)

\(x^3(x^2 - 1) = 0\)

\(x^3 = 0\) или \(x^2 - 1 = 0\)

\(x = 0\)          \( x^2 = 1\)

                     \(x = \pm \sqrt1\)

                     \(x = \pm 1\)

Ответ: \(-1; \, 0; \, 1\).

б) \(x^6 = 4x^4\)

\(x^6 - 4x^4 = 0\)

\(x^4(x^2 - 4) = 0\)

\(x^4 = 0\) или \(x^2 - 4 = 0\)

\(x = 0\)          \(x^2 = 4\)

                     \(x =  \pm\sqrt 4\)

                    \(x = \pm 2\)

Ответ: \(-2; \, 0; \, 2\).

в) \(0{,}5x^3 = 32x\)

\(0{,}5x^3 - 32x = 0\)

\(x(0{,}5x^2 - 32) = 0\)

\(x = 0\) или \(0{,}5x^2 - 32 = 0\)

                   \(0{,}5x^2 = 32\)

                   \(x^2 = \frac{32}{0,5}\)

                   \(x^2 = \frac{320}{5}\)

                   \(x^2 = 64\)

                   \(x = \pm \sqrt{64}\)

                   \(x = \pm 8\)

Ответ: \(-8; \, 0; \, 8\).

г) \(0{,}2x^4 = 4x^2\)

\(0{,}2x^4 - 4x^2 = 0\)

\(x^2(0{,}2x^2 - 4) = 0\)

\(x^2 = 0\) или \(0{,}2x^2 - 4 = 0\)

\(x = 0\)          \( 0{,}2x^2 = 4\)

                     \(x^2 = \frac{4}{0,2}\)

                     \(x^2 = \frac{40}{2}\)

                      \(x^2 = 20\)

                      \(x = \pm \sqrt{20}\)

                      \(x = \pm \sqrt{4\cdot5}\)

                      \(x = \pm 2\sqrt{5}\)

Ответ: \(-2\sqrt{5}; \, 0; \, 2\sqrt{5}\).

Пояснения:

Используемые правила:

1. Чтобы решить уравнения вида

\(x^n - x^m = 0\), нужно вынести общий множитель. \[ x^n - x^m = x^m(x^{n-m} - 1). \]

2. Для уравнений, приводящихся к виду \[ x^k(a x^n - b) = 0, \] нужно рассматривать два случая:

\(x^k = 0\) и \(a x^n - b = 0\).

3. Уравнения вида \(x^2 = a\) приводят к решениям \[ x = \pm \sqrt{a}. \]

Свойства арифметического корня:

\(\sqrt {a^2\cdot b} = a\sqrt b\).