Упражнение 354 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 108

а) \(y = \dfrac{4}{\sqrt{(3x - 1)(6x + 1)}}\)

\( (3x - 1)(6x + 1) > 0\)

\( (3x - 1)(6x + 1) = 0\)

\(3x - 1 = 0\)  или  \(6x + 1 = 0\)

\(3x = 1\)                  \(6x = -1\)

\(x = \frac13\)                   \(x = -\frac16\)

Ответ: \( x \in (-\infty,\,-\tfrac16)\cup\left(\tfrac13,\,+\infty\right). \)

б) \(y = \dfrac{7}{\sqrt{(11x + 2)(x - 4)}}\).

\( (11x + 2)(x - 4) > 0\)

\(11x + 2 = 0\)  или  \(x - 4 = 0\)

\(11x = -2\)              \(x = 4\)

\(x = -\frac{2}{11}\)

Ответ: \( x \in (-\infty,\,-\tfrac{2}{11})\cup(4,\,+\infty). \)

Пояснения:

Корень \(\sqrt{A}\) существует только при \(A \ge 0\), но так как он находится в знаменателе, случай \(A=0\) исключается. Поэтому требуется строгое неравенство: \(A>0\).

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.