Упражнение 349 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((x + 1{,}2)(6 - x)(x - 4) > 0\)

\((x + 1{,}2)(6 - x)(x - 4) = 0\)

или  \(x + 1,2 = 0\)

        \(x = -1,2\)

или  \(6 - x = 0\)

        \(x = 6\)

или  \(x - 4 = 0\)

        \(x = 4\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -1,2) \cup (4; 6)\).

б) \(\left(\dfrac{1}{3} - x\right)\left(\dfrac{1}{2} - x\right)\left(\dfrac{1}{7} - x\right) < 0\)

\(\left(\dfrac{1}{3} - x\right)\left(\dfrac{1}{2} - x\right)\left(\dfrac{1}{7} - x\right) = 0\)

или  \(\dfrac{1}{3} - x = 0\)

        \(x = \dfrac{1}{3}\)

или  \(\dfrac{1}{2} - x = 0\)

        \(x = \dfrac{1}{2}\)

или  \(\dfrac{1}{7} - x = 0\)

        \(x = \dfrac{1}{7}\)

Ответ: \(x \in \left(\frac17; \frac13\right) \cup \left(\frac12; +\infty\right)\).

в) \((x + 0{,}6)(1{,}6 + x)(1{,}2 - x) > 0\)

\((x + 0{,}6)(1{,}6 + x)(1{,}2 - x) = 0\)

или \(x + 0,6 = 0\)

       \(x = -0,6\)

или \(1,6 + x = 0\)

       \(x = -1,6\)

или \(1,2 - x = 0\)

       \(x = 1,2\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -1,6) \cup (-0,6; 1,2)\).

г) \((1{,}7 - x)(1{,}8 + x)(1{,}9 - x) < 0\).

\((1{,}7 - x)(1{,}8 + x)(1{,}9 - x) = 0\).

или \(1,7 - x = 0\)

       \(x = 1,7\)

или \(1,8 + x = 0\)

       \(x = -1,8\)

или \(1,9 - x = 0\)

       \(x = 1,9\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -1,8) \cup (1,7; 1,9)\).

Пояснения:

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

1) \(x^{3} - x + 3 = 0\)

Делители числа \(3\):

\(\pm1,\, \pm3\).

Если \(x = 1\), то

\(1^3-1+3 = 1-1+3=3\neq0\)

Если \(x = -1\), то

\((-1)^3-(-1)+3=-1+1+3=\)

\(=3\neq0\).

Если \(x = 3\), то

\(3^3 - 3 + 3=27-3+3=27\neq0\).

Если \(x = -3\), то

\((-3)^3 - (-3) + 3=-27+3+3=\)

\(=-21\neq0\).

Целых корней нет.

2) \(x^{4} + x^{2} - 20 = 0\)

Делители числа \(20\):

\(\pm1,\, \pm2,\, \pm4,\, \pm5,\, \pm10,\, \pm20\).

Если \(x = 1\), то

\(1^{4} + 1^{2} - 20 = -18 \neq 0\).

Если \(x = -1\), то

\((-1)^{4} + (-1)^{2} - 20 =\)

\(=1 + 1 - 20 =-18 \neq 0\).

Если \(x = 2\), то

\(2^{4} + 2^{2} - 20 =16 + 4 - 20 = 0\)

\(x = 2\) - корень уравнения.

Если \(x = -2\), то

\((-2)^{4} + (-2)^{2} - 20 =\)

\(=16 + 4 - 20 = 0\).

\(x = -2\) - корень уравнения.

Уравнение имеет не менее двух целых корней.

3) \(x^{4} + 5x^{2} + 4 = 0\)

\(x^4 \ge 0\), \(x^2 \ge 0\), тогда

\(x^{4} + 5x^{2} + 4 > 0\)

Уравнение не имеет корней.

4) \(x^{3} - 5x + 4 = 0\)

Делители числа \(4\):

\(x=\pm1,\pm2,\pm4\).

Если \(x = 1\), то

\(1^{3} - 5\cdot1 + 4 =1-5+4= 0\)

\(x = 1\) - корень уравнения.

Если \(x = -1\), то

\((-1)^{3} - 5\cdot(-1) + 4 =\)

\(=-1+5+4= 8 \neq0\)

Если \(x = 2\), то

\(2^{3} - 5\cdot2 + 4 =8-10+4= 2 \neq0\)

Если \(x = -2\), то

\((-2)^{3} - 5\cdot(-2) + 4 =\)

\(=-8+10+4= 6 \neq0\)

Если \(x = 4\), то

\(4^{3} - 5\cdot4 + 4 =64-20+4=\)

\(=48 \neq0\)

Если \(x = -4\), то

\((-4)^{3} - 5\cdot(-4) + 4 =\)

\(=-64+20+4= -40 \neq0\)

Уравнение имеет один целый корень.

Ответ: уравнение 4.

Пояснения:

Для многочлена с целыми коэффициентами возможные целые корни являются делителями свободного члена (последний коэффициент). Поэтому подстановкой проверяем эти числа и выбираем то уравнение, в котором только один целый корень.

Во втором уравнении подстановку не выполняем, так как в нем четные степени и значение выражения всегда будет положительным, так как свободный член больше нуля, то есть то уравнение не имеет никаких корней.