Упражнение 330 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{1}{x^2 - 6x + 8} - \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{10}{x^2 - 4} = 0\)

\(x^2 - 6x + 8 = 0\)

\(D = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot8 = \)

\(=36 - 32 = 4 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt 4 = 2\)

\(x_1 = \frac{6 + 2}{2\cdot1} = \frac82 = 4\).

\(x_2 = \frac{6 - 2}{2\cdot1} = \frac42 = 2\).

\(x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)\)

\(\dfrac{1}{(x - 2)(x - 4)} - \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{10}{(x - 2)(x + 2)} = 0\) \(/\times(x-2)(x+2)(x-4)\)

ОДЗ:

\(x - 2 \ne 0, \Rightarrow x\neq 2;\)

\(x + 2 \ne 0, \Rightarrow x\neq -2;\)

\(x - 4 \ne 0, \Rightarrow x\neq 4.\)

\(x+2 - (x+2)(x-4) + 10(x - 4) = 0\)

\(x + 2 - (x^2 - 4x + 2x - 8) + 10x - 40 = 0\)

\(x + 2 - x^2 + 4x - 2x + 8 + 10x - 40 = 0\)

\(-x^2 + 13x - 30 = 0\)  \(/\times (-1)\)

\(x^2 - 13x + 30 = 0\)

\(D = (-13)^2 - 4\cdot 1\cdot30 = \)

\(=169 - 120 = 49 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {49} = 7\)

\(x_1 = \frac{13 + 7}{2\cdot1} = \frac{20}{2}=10\).

\(x_2 = \frac{13 - 7}{2\cdot1} = \frac{6}{2}=3\).

Ответ: \(x = 3,\; x = 10\)

б) \(\dfrac{3}{x^2 - x - 6} + \dfrac{3}{x + 2} = \dfrac{7}{x^2 - 9}\).

\(x^2 - x - 6 = 0\)

\(D = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-6) = \)

\(= 1 + 24 = 25 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {25} = 5\).

\(x_1 = \frac{1 + 5}{2\cdot1} = \frac62 = 3\).

\(x_2 = \frac{1 - 5}{2\cdot1} = \frac{-4}{2} = -2\).

\(x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)\)

\(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\)

\(\dfrac{3}{(x - 3)(x + 2)} + \dfrac{3}{x + 2} = \dfrac{7}{(x - 3)(x + 3)}\) \(/\times(x+2)(x+3)(x-3)\)

ОДЗ:

\(x + 2 \ne 0, \Rightarrow x\neq -2;\)

\(x + 3 \ne 0, \Rightarrow x\neq -3;\)

\(x - 3 \ne 0, \Rightarrow x\neq 3.\)

\(3(x+3) + 3(x + 3)(x - 3) = 7(x+2)\)

\(3x + 9 + 3(x^2 - 9) = 7x + 14\)

\(3x + 9 + 3x^2 - 27 - 7x - 14 = 0\)

\(3x^2 - 4x - 32 = 0\)

\(D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-32) =\)

\(=16 + 384 = 400 > 0 \) - 2 корня.

\(\sqrt{400} = 20\).

\(x_{1} = \dfrac{4 + 20}{2\cdot3} = \frac{24}{6} = 4.\)

\(x_{2} = \dfrac{4 - 20}{2\cdot3} = \frac{-16}{6} = -\frac{-8}{3} = - 2\frac{2}{3}.\)

Ответ: \(x = 4,\; x = -\dfrac{8}{3}\).

Пояснения:

Алгоритм решения уравнений:

1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно,если возможно, разложить все знаменатели на множители);

2) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Приемы разложения на множители:

• \(x^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2)\),

где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трехчлена.

• разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

Квадратное уравнение вида

\(ax^2 + bx + c = 0\) решаем через дискриминант \(D =b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b +\sqrt D}{2a}\).

а) \(5(x - 13)(x + 24) < 0\)   \(/ : 5\)

\((x - 13)(x + 24) < 0\) 

\((x - 13)(x + 24) = 0\) 

\(x - 13 = 0\)   или   \(x + 24 = 0\)

\(x = 13\)                   \(x = -24\)

Ответ: \(x \in (-24; 13) \).

б) \(-\left(x + \dfrac{1}{7}\right)\left(x + \dfrac{1}{3}\right) \ge 0\) \(/\times (-1)\)

\(\left(x + \dfrac{1}{7}\right)\left(x + \dfrac{1}{3}\right) \le 0\)

\(\left(x + \dfrac{1}{7}\right)\left(x + \dfrac{1}{3}\right) = 0\)

\(x + \dfrac{1}{7} = 0\)   или   \(x + \dfrac{1}{3} = 0\)

\(x =-\dfrac{1}{7}\)                \(x=-\dfrac{1}{3}\)

Ответ: \(x \in \left[-\dfrac{1}{3}; -\dfrac{1}{7}\right] \).

в) \((x + 12)(3 - x) > 0\)

\((x + 12)(3 - x) = 0\)

\(x + 12 = 0\)   или   \(3 - x = 0\)

\(x = -12\)                \(x = 3\)

Ответ: \(x \in (-12; 3) \).

г) \((6 + x)(3x - 1) \le 0\)

\((6 + x)(3x - 1) = 0\)

\(6 + x = 0\)   или   \(3x - 1 = 0\)

\(x = -6\)                \(3x = 1\)

                              \(x = \dfrac{1}{3}\)

Ответ: \(x \in \left[-6; \dfrac{1}{3}\right] \).

Пояснения:

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Также помним свойства неравенств:

если \(a < b\) и \(c\) - положительное число, то \(ac < bc\), то есть если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Если \(a < b\) и \(c\) - отрицательное число, то \(ac > bc\), то есть если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.