Упражнение 481 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( x^2+4xy+4y^2+5=0\)

\((x+2y)^2+5 = 0\) - неверно, так как

\((x+2y)^2+5 > 0\) при любых \(x\) и \(y\), поэтому уравнение не имеет корней.

б) \( x^2-2xy+y^2+8=0\)

\((x-y)^2+8 = 0 \) - неверно, так как

\((x-y)^2+8 > 0 \) при любых \(x\) и \(y\), поэтому уравнение не имеет корней.

в) \( x^2-2x+y^2-4y+6=0\)

\((x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)+6-1-4 = 0\)

\( (x-1)^2+(y-2)^2+1 = 0 \) - неверно, так как

\( (x-1)^2+(y-2)^2+1 > 0 \) при любых \(x\) и \(y\), поэтому уравнение не имеет корней.

г) \( x^2y^2-2xy+3=0\)

\(((xy)^2-2xy+1) - 1 + 3 = 0\)

\( (xy-1)^2 + 2 = 0\) - неверно, так как

\( (xy-1)^2 + 2> 0 \) при любых \(x\) и \(y\), поэтому уравнение не имеет корней.

Пояснения:

Правила и приёмы, которые использовались:

1. Квадрат любого действительного числа неотрицателен:

\[ a^2\ge 0. \]

2. Выделение полного квадрата:

\( x^2+2ax+a^2=(x+a)^2, \)

\( x^2-2ax+a^2=(x-a)^2. \)

3. Если выражение имеет вид \((a \pm b)^2+c\), где \(c>0\), то оно всегда \(>0\) и не может быть равно нулю.

а) \(x^2-6x<0\)

\(y = x^2-6x\) - парабола, ветви вверх.

\( x^2-6x=0\)

\(x(x-6)=0 \)

\(x=0\)  или  \(x - 6 = 0\)

                    \(x=6\)

Ответ: \(x \in (0; 6)\).

б) \(8x+x^2\ge0\)

\(y = x^2 + 8x\) - парабола, ветви вверх.

\(x^2 + 8x=0\)

\(x(x + 8)=0\)

\(x=0\)  или  \(x + 8 = 0\)

                    \(x=-8\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -8] \cup [0; +\infty)\).

в) \(x^2\le 4 \)

\(x^2 - 4\le 0 \)

\(y = x^2 - 4\) - парабола, ветви вверх.

\(x^2 - 4 = 0\)

\(x^2 = 4\)

\(x = \pm\sqrt4\)

\(x = \pm2\)

Ответ: \(x \in [-2; 2]\).

г) \( x^2>6 \)

\( x^2 - 6 > 0 \)

\(y = x^2 - 6\) - парабола, ветви вверх.

\(x^2 - 6 = 0\)

\(x^2 = 6\)

\(x = \pm\sqrt6\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -\sqrt6) \cup (\sqrt6; +\infty)\).

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx > 0\), \(ax^2 + bx < 0\),

\(ax^2 + c > 0\), \(ax^2 + c < 0\):

1) находим корни уравнений

\(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 + c = 0\).

2) отмечаем корни уравнений на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx > 0\) или \(ax^2 + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx < 0\) или \(ax^2 + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Корни уравнения \(ax^2 + bx\) находим разложением многочлена на множители \(x(ax + b)\) и используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\)  или \(ax + b = 0\), откуда \(x = -\frac{b}{a}\).

Корни уравнения \(x^2 = c\):

\(x_1 = \sqrt c\) и \(x_2 = -\sqrt c\).