Упражнение 476 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 143

а) \(\begin{cases}\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{25}{12},\\ x^2-y^2=7\end{cases}\)

\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{25}{12}\)

Пусть \(\frac xy = t\), тогда

\(t + \frac1t = \frac{25}{12}\)   \(/\times 12t\)

\(12t^2 + 12 = 25t\)

\(12t^2 - 25t + 12 = 0\)

\(D = (-25)^2 - 4\cdot12\cdot12 = \)

\(=625 - 576 = 49 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{49} = 7\).

\(t_1 = \frac{25 + 7}{2\cdot12} =\frac{32}{24} =\frac{4}{3}\).

\(t_2 = \frac{25 - 7}{2\cdot12} =\frac{18}{24} =\frac{3}{4}\).

1) \(\begin{cases}\dfrac{x}{y}=\dfrac{4}{3},\\ x^2-y^2=7\end{cases}\)

\(\begin{cases} x=\dfrac{4}{3}y,\\[6pt] \left(\dfrac{4}{3}y\right)^2-y^2=7\end{cases}\)

\(\left(\dfrac{4}{3}y\right)^2-y^2=7\)

\(\dfrac{16}{9}y^2-y^2=7\)  \(/\times9\)

\(16y^2 - 9y^2 = 63\)

\(7y^2 = 63\)

\(y^2 = \frac{63}{7}\)

\(y^2 = 9\)

\(y = \pm\sqrt9\)

\(y = \pm3\).

Если \(y = 3\), то

\(x = \frac43\cdot3 = 4\).

Если \(y = -3\), то

\(x = \frac43\cdot(-3) = -4\).

1) \(\begin{cases}\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{4},\\ x^2-y^2=7\end{cases}\)

\(\begin{cases} x=\dfrac{3}{4}y,\\[6pt] \left(\dfrac{3}{4}y\right)^2-y^2=7\end{cases}\)

\(\left(\dfrac{3}{4}y\right)^2-y^2=7\)

\(\dfrac{9}{16}y^2-y^2=7\)  \(/\times 16\)

\(9y^2 - 16y^2 = 112\)

\(-7y^2 = 112\)

\(y^2 = \frac{112}{-7}\)

\(y^2 = -16\) - не имеет корней.

Ответ: \( (4;3),\;(-4;-3) \).

б) \(\begin{cases}\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}=2{,}1,\\ x^2+y^2=29\end{cases}\)

\(\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}=2{,}1\)

Пусть \(\frac xy = t\), тогда

\(t - \frac1t = 2,1\)   \(/\times 10t\)

\(10t^2 - 10 = 21t\)

\(10t^2 - 21t - 10 = 0\)

\(D = (-21)^2 - 4\cdot10\cdot(-10)= \)

\(= 441 + 400 = 841 > 0\) - два корня.

\(\sqrt {841} = 29\).

\(t_1 = \frac{21 + 29}{2\cdot10} = \frac{50}{20} = \frac52 = 2,5\).

\(t_2 = \frac{21 - 29}{2\cdot10} = \frac{-8}{20} = \frac{-4}{10} = -0,4\).

1) \(\begin{cases}\dfrac{x}{y}=2,5,\\ x^2+y^2=29\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=2,5y,\\ (2,5y)^2+y^2=29\end{cases}\)

\((2,5y)^2+y^2=29\)

\(6,25y^2 + y^2 = 29\)

\(7,25y^2 = 29\)

\(y^2 = \frac{29}{7,25}\)

\(y^2 = \frac{2900}{725}\)

\(y^2 = 4\)

\(y = \pm\sqrt4\)

\(y = \pm2\)

Если \(y = 2\), то

\(x = 2,5\cdot2 = 5\).

Если \(y = -2\), то

\(x = 2,5\cdot(-2) = -5\).

2) \(\begin{cases}\dfrac{x}{y}=-0,4,\\ x^2+y^2=29\end{cases}\)

\(\begin{cases} x=-0,4y,\\ (-0,4y)^2+y^2=29\end{cases}\)

\((-0,4y)^2+y^2=29\)

\(0,16y^2 + y^2 = 29\)

\(1,16y^2 = 29\)

\(y^2 = \frac{29}{1,16}\)

\(y^2 = \frac{2900}{116}\)

\(y^2 = 25\)

\(y = \pm\sqrt{25}\)

\(y = \pm5\)

Если \(y = 5\), то

\(x = -0,4\cdot5 = -2\).

Если \(y = -5\), то

\(x = -0,4\cdot(-5) = 2\).

Ответ: \((5; 2)\), \((-5; -2)\), \((2; -5)\),

\((-2; 5)\).

Пояснения:

В каждой системе сначала преобразуем первое уравнение, для этого вводим переменную \(t = \frac{x}{y}\), тогда \(\frac{y}{x} = \frac1t\). Получаем дробно-рациональное уравнение относительно \(t\), домножив которое на \(t\) получаем квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\), решаем его через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D>0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Решив квадратное уравнение, получаем в каждом случае \(\frac{x}{y}=\pm a\). Тем самым решение систем сводится к решению совокупностей систем. Каждую систему решаем способом подстановки.