Упражнение 478 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 143

а) \(\begin{cases}x^2+y^2=25,\\ xy=12  /\times2 \end{cases}\)

\(\begin{cases}x^2+y^2=25,\\ 2xy=24 \end{cases}\)  \((+)\)

\(x^2 + 2xy + y^2 = 25 + 24\)

\((x + y)^2 = 49\)

\(x + y = \pm \sqrt{49}\)

\(x + y = \pm7\)

1) \(\begin{cases}x+y=7,\\ xy=12 \end{cases}\)

\(\begin{cases}y=7-x,\\ x(7-x)=12 \end{cases}\)

\(x(7-x)=12\)

\(7x - x^2 - 12 = 0\)   \(/\times(-1)\)

\(x^2 - 7x + 12 = 0\)

\(D = (-7)^2 - 4\cdot1\cdot12 = \)

\(=49 - 48 = 1 > 0\) - два корня.

\(\sqrt1 = 1\)

\(x_1 = \frac{7 + 1}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4\).

\(x_2 = \frac{7 - 1}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\).

Если \(x = 4\), то

\(y = 7 - 4 = 3\).

Если \(x = 3\), то

\(y = 7 - 3 = 4\).

2) \(\begin{cases}x+y=-7,\\ xy=12 \end{cases}\)

\(\begin{cases}y=-7-x,\\ x(-7-x)=12 \end{cases}\)

\(x(-7-x)=12\)

\(-7x - x^2 - 12 = 0\)   \(/\times(-1)\)

\(x^2 + 7x + 12 = 0\)

\(D = 7^2 - 4\cdot1\cdot12 =\)

\(=49 - 48 = 1\).

\(\sqrt1 = 1\)

\(x_1 = \frac{-7 + 1}{2\cdot1} = \frac{-6}{2} = -3\).

\(x_2 = \frac{-7 - 1}{2\cdot1} = \frac{-8}{2} = -4\).

Если \(x = -3\), то

\(y = -7 - (-3) = -7 + 3 = -4\).

Если \(x = -4\), то

\(y = -7 - (-4) = -7 + 4 = -3\).

Ответ: \((4;3),\;(3;4),\;(-3;-4),\)

\((-4;-3)\).

б) \(\begin{cases}x^2+y^2=26,\\ x+y=6.\end{cases}\)

\(\begin{cases}x^2+(6-x)^2=26,\\ y=6-x \end{cases}\)

\(x^2+(6-x)^2=26\)

\(x^2 + 36 - 12x + x^2 - 26 = 0\)

\(2x^2 - 12x + 10 = 0\)  \(/ : 2\)

\(x^2 - 6x + 5 = 0\)

\(D = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot5 =\)

\(=36 - 20 = 16 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{16} = 4\).

\(x_1 = \frac{6 + 4}{2\cdot1} = \frac{10}{2} = 5\).

\(x_2 = \frac{6 - 4}{2\cdot1} = \frac{2}{2} = 1\).

Если \(x = 5\), то

\(y = 6 - 5 = 1\).

Если \(x = 1\), то

\(y = 6 - 1 = 5\).

Ответ: \((1;5),\;(5;1)\).

Пояснения:

В пункте а) сначала используем способ сложения при решении системы уравнений. В результате решение системы сводится к решению совокупности систем уравнений. Каждую систему решаем способом подстановки.

В пункте б) систему решаем способом подстановки.

Используемые приемы:

- квадрат суммы и квадрат разности двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\),

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

- квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня: \(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).

- неполное квадратное уравнение

\(x^2 = a\) имеет корни \(x_{1,2} = \pm\sqrt a\).