Вернуться к содержанию учебника
Докажите, что для любого значения \(x\) верно неравенство:
\[ 6x(x+8) - (5x - 27)(x + 17) > 0. \]
\( 6x(x+8) - (5x - 27)(x + 17) > 0 \)
\(6x^2 + 48x- (5x^2 + 85x - 27x - 459) > 0 \)
\(6x^2 + 48x- (5x^2 + 58x - 459) > 0 \)
\(6x^2 + 48x - 5x^2 - 58x + 459 > 0 \)
\((6x^2 - 5x^2) + (48x - 58x) + 459 > 0 \)
\(x^2 - 10x + 459> 0 \)
\(x^2 - 10x +25 + 434> 0 \)
\((x-5)^2 + 434> 0 \) - верно, так как сумма неотрицательного числа и положительного всегда больше нуля, а \((x-5)^2\ge0\) и \(434> 0 \), следовательно, \( 6x(x+8) - (5x - 27)(x + 17) > 0\) для всех \(x.\)
Пояснения:
Чтобы доказать, что неравенство верно при всех значениях переменной, преобразуем левую часть, используя следующие правила:
Умножение одночлена на многочлен:
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
Умножение многочлена на многочлен:
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
Раскрытие скобок:
Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак \("-"\), надо заменить этот знак на \("+"\), поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.
Также помним, что квадрат любого числа есть число неотрицательное. И сумма неотрицательного числа и положительного всегда больше нуля.
Вернуться к содержанию учебника