Упражнение 469 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 138

а) \((x+2)^2 + 9(x+2) + 20 = 0\);

Пусть \(x + 2=t\). 

\( t^2 + 9t + 20 = 0\)

\(a=1, b=9, c=20\)

\( D =b^2-4ac=\)

\(9^2 - 4\cdot1\cdot20 = 81 - 80 = 1>0 \) - уравнение имеет 2 корня.

\[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D }{2a},  \sqrt D =1.\]

\( t_1 = \frac{-9 + 1}{2} = -4\)

\(t_2 = \frac{-9 - 1}{2} = -5. \)

1) Если \(t=-4,\) то 

\( x + 2 = -4\)

\( x = -4-2\)

\(x = -6.\)

2) Если \(t=-5,\) то 

\( x + 2 = -5\)

\( x = -5-2\)

\(x = -7. \)

Ответ: \(x = -6, x= -7.\)

б) \((x-5)^2 + 2(x-5) - 63 = 0.\)

Пусть \(x - 5=t\).

\( t^2 + 2t - 63 = 0. \)

\(a=1, b=2, c=-63\)

\( D =b^2-4ac=\)

\(=2^2 - 4\cdot1\cdot(-63) =\)

\(=4 + 252 = 256. \)

\[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D }{2a},  \sqrt D =16.\]

\( t_1 = \frac{-2 + 16}{2} = 7\)

\( t_2 = \frac{-2 - 16}{2} = -9\)

1) Если \(t=7,\) то 

\( x - 5 = 7\)

\( x = 7+5\)

\(x = 12\)

2) Если \(t=-9,\) то 

\( x - 5 = -9\)

\( x= -9+5\)

\(x = -4.\)

Ответ: \(x = 12, x=-4.\)

Пояснения:

1. В обоих уравнениях удобно сделать замену вида \( x + a=t\), чтобы избавиться от скобок и привести выражение к стандартному квадратному уравнению.

2. После замены получаются обычные квадратные уравнения:

\( t^2 + 9t + 20 = 0\)

\( t^2 + 2t - 63 = 0, \) которые решаются с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\( t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \) где \(D=b^2-4ac\)

3. После нахождения значений \(t\) нужно вернуться к исходной переменной \(x\), подставив \[ x + 2=t \quad \text{или} \quad x - 5=t. \]

Таким образом, каждое уравнение имеет по два корня.