Упражнение 465 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 137

а) \( \begin{cases} y \ge x^2,\\ y \le 4; \end{cases} \)

\(y = x^2\)

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

б) \( \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4,\\ x - y \ge 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4,\\ - y \ge -x      \color{red}|\times(-1) \end{cases}\)

\( \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4,\\ y \le x \end{cases}\)

\(x^2 + y^2 = 4\) - уравнение окружности с центром в точке \((0; 0)\), радиусом \(r=2.\)

в) \( \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9,\\ (x - 3)^2 + y^2 \le 9 \end{cases} \)

\(x^2 + y^2 = 9\) - уравнение окружности с центром в точке \((0; 0)\), радиусом \(r=3.\)

\((x - 3)^2 + y^2 = 9\) - уравнение окружности с центром в точке \((3; 0)\), радиусом \(r=3.\)

г) \( \begin{cases} (x - 2)^2 + (y + 1)^2 \ge 1,\\ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 \le 9. \end{cases} \)

\(\color{red}(x - 2)^2 + (y + 1)^2=1\) - уравнение окружности  с центром в точке \((2; -1)\), радиусом \(r=1\).

\(\color{blue}(x - 2)^2 + (y + 1)^2=9\) - уравнение окружности с центром в точке \((2; -1)\), радиусом \(r=3\).

Пояснения:

Основные формулы и факты:

1) График функции \(y = x^2\) — парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вверх. Неравенства вида \(y \ge x^2\) и \(y \le x^2\) задают соответственно область над/под этой параболой (включая её при нестрогом знаке).

2) Уравнение окружности с центром \((a; b)\) и радиусом \(R\): \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2. \] Соответственно: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 \le r^2 \] — круг (внутри и на окружности), \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 < r^2 \] — внутренняя область без границы, \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 \ge r^2 \] — внешняя область, включая окружность.

3) Линейное уравнение \(x - y = 0\) задаёт прямую, а неравенства \(x - y \ge 0\) и \(x - y \le 0\) — полуплоскости по разные стороны от неё.