Упражнение 460 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 135

\( \begin{cases} 5x - y - 2 = 0, \\ x^2 - 2xy + y^2 = 4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=5x - 2, \\ (x - y)^2 = 4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=5x - 2, \\ (x - (5x - 2))^2 = 4 \end{cases} \)

\((x - (5x - 2))^2 = 4 \)

\((x - 5x + 2)^2 = 4 \)

\((2-4x)^2 = 4 \)

\(4-16x+16x^2 = 4 \)

\(16x^2-16x = 0 \)

\( 16x^2 - 16x = 0 \)

\(16x(x - 1) = 0\)

\(x = 0\)  или  \(x-1=0\)

                     \(x=1\)

1) Если \(x = 0\), то

\(y = 5\cdot0 - 2 = -2.\)

2) Если  \(x = 1\), то

\(y = 5\cdot1 - 2 = 3.\)

Ответ: \((0; -2)\); \((1; 3).\)

Пояснения:

В обоих пунктах используется метод подстановки для решения систем уравнений:

1) Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.

2) Подставляем полученное выражение во второе уравнение, получая уравнение с одной переменной.

3) Решаем полученное квадратное уравнение и находим значения переменной.

4) Подставляем найденные значения обратно в выражение для другой переменной.

1. Первое уравнение линейное, поэтому легко выразить одну переменную, например:

\[ y = 5x - 2. \]

2. Второе уравнение имеет вид:

\[ x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2. \]

Это удобная форма, но можно решать и прямой подстановкой.

3. После подстановки получили квадратное уравнение относительно \(x\), которое разложили на множители:

\[ 16x(x - 1)=0. \]

4. После нахождения значений \(x\) легко получили соответствующие \(y\) из линейного выражения.

Итак, система имеет два решения: \((0; -2)\) и \((1; 3)\).