Упражнение 459 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 134

\(\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{1 - x}{x^2 + 3x + 2} = \frac{x - 1}{x + 1}\)

\(x^2 + 3x + 2=0\)

\(D =b^2-4ac= 3^2 - 4\cdot1\cdot2 = \)

\(=9-8 = 1 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt D=\sqrt 1 = 1.\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}=\frac{-3+1}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1\)

\(x_{2}=\frac{-3-1}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2\)

\(x^2 + 3x + 2=(x+1)(x+2).\)

\(\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{1 - x}{x^2 + 3x + 2} =\)

\(=\frac{x - 1}{x + 2}^{\color{red}{\backslash{x+1}}} - \frac{1 - x}{(x+1)(x+2)} =\)

\(=\frac{(x - 1)(x+1)}{(x+1)(x + 2)} - \frac{1 - x}{(x+1)(x+2)} =\)

\(=\frac{(x - 1)(x+1)}{(x+1)(x + 2)} - \frac{1 - x}{(x+1)(x+2)} =\)

\(=\frac{(x - 1)(x+1)-(1-x)}{(x+1)(x + 2)} =\)

\(=\frac{(x - 1)(x+1)+(x-1)}{(x+1)(x + 2)} =\)

\(=\frac{(x - 1)(x+1+1)}{(x+1)(x + 2)} =\)

\(=\frac{(x-1)\cancel{(x+2)}}{(x+1)\cancel{(x + 2)}}= \frac{x - 1}{x + 1}.\)

Пояснения:

1. Сначала раскладываем квадратный трехчлен в знаменателе второй дроби на множители, найдя его корни, используя формулы:

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\), где \(D =b^2-4ac\) 

Получаем:

\(x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).\)

2. Определяем общий знаменатель \((x + 1)(x + 2)\) для обеих дробей.

3. Первую дробь приводим к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель на \((x + 1)\):

\(\frac{x - 1}{x + 2} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 2)(x + 1)}.\)

4. Вычитаем дроби с общим знаменателем, для этого вычитаем из числителя первой дроби числитель второй дроби и оставляем общий знаменатель:

\(\frac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} - \frac{1-x}{(x + 1)(x + 2)}=\)

\(= \frac{(x - 1)(x + 1) - (1-x)}{(x + 1)(x + 2)}.\)

5. Вносим знак минус в скобки:

 \(\frac{(x - 1)(x+1)+(x-1)}{(x+1)(x + 2)}\)

6. В числителе выносим общий множитель \((x - 1)\), получаем дробь

\[\frac{(x - 1)(x + 2)}{(x + 1)(x + 2)}.\]

7. Сокращаем полученную дробь на общий множитель \((x + 2)\), в итоге получаем, что:

\(\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{1 - x}{x^2 + 3x + 2} = \frac{x - 1}{x + 1}.\)