Упражнение 466 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 138

\( \begin{cases} y \le 3x - 1,\\ y \ge kx + b \end{cases} \)

а) Прямые должны быть параллельны и вторая прямая должна быть правее первой прямой, поэтому:

\( k = 3, b < -1.\)

б) Прямые должны пересекаться, поэтому:

\(b\) - любое число, \( k \ne 3. \)

в) Прямые должны совпадать:

\( k = 3,\; b = -1. \)

Система может не иметь решений, если прямые параллельны и вторая прямая  расположена левее, т.е. при \( k = 3,\quad b > -1. \)

Пояснения:

1. Неравенство \( y \le 3x - 1 \) задаёт полуплоскость, расположенную не выше прямой \(y = 3x - 1\) (включая саму прямую).

Неравенство \( y \ge kx + b \) задаёт полуплоскость, расположенную не ниже прямой \(y = kx + b\) (включая прямую).

Решения системы — пересечение этих двух полуплоскостей, то есть все точки, для которых одновременно выполняются оба условия.

2. Параллельные и пересекающиеся прямые.

Наклон прямой определяется коэффициентом при \(x\). Поэтому:

\[ l_1 \parallel l_2 \iff 3 = k. \]

Если \(k \ne 3\), прямые пересекаются в одной точке, значит границы полуплоскостей образуют вершину угла, а пересечение полуплоскостей даёт угол.

3. Полоса.

Полоса на плоскости — это множество точек между двумя параллельными прямыми. В нашей системе это возможно только при \(k = 3\) и разных свободных членах. Чтобы пересечение полуплоскостей было именно между прямыми, нижняя граница должна быть ниже верхней: \[ 3x + b \le 3x - 1 \;\Longrightarrow\; b \le -1. \]

4. Прямая и отсутствие решений.

Когда обе границы совпадают (\(k = 3,\ b = -1\)), система превращается в равенство \(y = 3x - 1\), то есть множество решений — одна прямая.

Когда \(k = 3,\ b > -1\), прямая \(y = 3x + b\) выше, чем \(y = 3x - 1\). Тогда для любого \(x\) выполняется \[ 3x + b > 3x - 1, \] и найти \(y\), удовлетворяющее одновременно \[ y \ge 3x + b,\quad y \le 3x - 1, \] невозможно, поэтому решений нет.

5. Угол.

При \(k \ne 3\) прямые пересекаются. В точке пересечения обе неравенства выполняются на границе (равенство). По одну сторону от вершины пересечение полуплоскостей образует «щель» между прямыми, уходящую в бесконечность — это и есть угол.