Упражнение 470 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 138

\( y = \sqrt{x - 5} + \sqrt{15 - x}. \)

\( \begin{cases} x - 5 \ge 0\\ 15 - x \ge 0  \end{cases} \)

\( \begin{cases} x\ge 5\\  - x \ge -15        \color{red}|\times(-1)  \end{cases} \)

\( \begin{cases} x\ge 5\\   x \le 15 \end{cases} \)

Ответ: \(x\in [5;\, 15]. \)

Пояснения:

Для выражений с квадратным корнем необходимо выполнение условия: подкоренное выражение неотрицательно. Также у рациональных дробей знаменатель должен быть отличен от нуля.

Поэтому каждое выражение преобразуется в систему, состоящую из двух неравенств и уравнения. Решение системы даёт допустимые значения переменной.

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

Функция является суммой двух корней, значит должны одновременно выполняться оба условия: \[ x - 5 \ge 0,\qquad 15 - x \ge 0. \]

Пересечение двух промежутков: \([5; +\infty)\) и \((-\infty; 15]\) даёт отрезок \([5;15]\).