Упражнение 719 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 193

а) \(\small\dfrac{5+\sqrt{y}}{5\sqrt{y}+y}=\dfrac{5+\sqrt{y}}{\sqrt{y}(5+\sqrt{y})}=\dfrac{1}{\sqrt{y}}\)

б) \(\small \dfrac{3x-6}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}=\dfrac{3(x-2)}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}=\)

\(\small=\dfrac{3(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}=\)

\(\small =3(\sqrt{x}-\sqrt{2})=3\sqrt{x}-3\sqrt{2}.\)

в) \(\small \dfrac{a\sqrt{a}-1}{a+\sqrt{a}+1}=\dfrac{(\sqrt{a})^3-1}{(\sqrt{a})^2+\sqrt{a}+1}=\)

\(\small =\dfrac{(\sqrt{a}-1)((\sqrt{a})^2+\sqrt{a}+1)}{(\sqrt{a})^2+\sqrt{a}+1}=\)

\(=\sqrt{a}-1.\)

г) \(\small \dfrac{b-\sqrt{b}+1}{b\sqrt{b}+1}=\dfrac{(\sqrt{b})^2-\sqrt{b}+1}{(\sqrt{b})^3+1}=\)

\(\small =\dfrac{(\sqrt{b})^2-\sqrt{b}+1}{(\sqrt{b}+1)((\sqrt{b})^2-\sqrt{b}+1)}=\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{b}+1}.\)

д) \(\small \dfrac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{xy}+y}=\dfrac{(\sqrt{x})^3+(\sqrt{y})^3}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}=\)

\(\small =\dfrac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})((\sqrt{x})^2-\sqrt{x}\sqrt{y}+(\sqrt{y})^2)}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}=\)

\(=\dfrac{x-\sqrt{xy}+y}{\sqrt{y}}\)

е) \(\small \dfrac{c-\sqrt{cd}}{c\sqrt{c}-d\sqrt{d}}=\dfrac{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}{(\sqrt{c})^3-(\sqrt{d})^3}=\)

\(\small =\dfrac{\sqrt{c}(\sqrt{c}-\sqrt{d})}{(\sqrt{c}-\sqrt{d})((\sqrt{c})^2+\sqrt{c}\sqrt{d}+(\sqrt{d})^2)}=\)

\(=\dfrac{\sqrt{c}}{c+\sqrt{cd}+d}\)

Пояснения:

Используемые формулы и правила

1) Вынесение общего множителя:

\(ab+ac=a(b+c)\)

2) Разность квадратов:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

3) Сумма кубов:

\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)

4) Разность кубов:

\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)

5) Сокращать можно только общие множители числителя и знаменателя.

а) В знаменателе вынесли \(\sqrt{y}\):

\(5\sqrt{y}+y=\sqrt{y}(5+\sqrt{y})\).

После сокращения \((5+\sqrt{y})\) получили \(\dfrac{1}{\sqrt{y}}\).

б) Разложили \(x-2=(\sqrt{x})^2-(\sqrt{2})^2=(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})\).

Сократили общий множитель \((\sqrt{x}+\sqrt{2})\).

в) Записали \(a\sqrt{a}=(\sqrt{a})^3\).

Применили формулу разности кубов и сократили общий множитель.

г) Записали \(b=(\sqrt{b})^2\), \(b\sqrt{b}=(\sqrt{b})^3\).

Применили формулу суммы кубов и сократили общий множитель.

д) Записали числитель как сумму кубов:

\((\sqrt{x})^3+(\sqrt{y})^3\).

Применили формулу суммы кубов и сократили \((\sqrt{x}+\sqrt{y})\).

е) Представили числитель и знаменатель через \(\sqrt{c}\) и \(\sqrt{d}\).

Знаменатель — разность кубов, после сокращения остался выражение \(\dfrac{\sqrt{c}}{c+\sqrt{cd}+d}\).