Вернуться к содержанию учебника
Упростите выражение:
а) \(\dfrac{2\cdot 3^{n+2}-5\cdot 3^{n+1}}{3^{\,n-1}}\);
б) \(\dfrac{25\cdot 4^n}{4^n-4^{\,n-1}}\);
в) \(\dfrac{10\cdot 6^n}{2^{\,n+1}\cdot 3^{\,n-1}}\);
г) \(\dfrac{2^{\,2n-1}\cdot 5^{\,2n+1}}{100^n}\).
Вспомните:
а) \(\dfrac{2\cdot 3^{n+2}-5\cdot 3^{n+1}}{3^{\,n-1}}=\)
\(=\dfrac{2\cdot 3^2\cdot 3^{n}-5\cdot3\cdot 3^{n}}{3^{n}\cdot3^{-1}}=\)
\(=\dfrac{\cancel{3^n}(2\cdot 3^2-5\cdot3)\cdot3}{\cancel{3^{n}}}=\)
\(=(18-15)\cdot3=9\)
б) \(\dfrac{25\cdot 4^n}{4^n-4^{\,n-1}}=\dfrac{25\cdot 4^n}{4^n-4^{n}\cdot4^{-1}}=\)
\(=\dfrac{25\cdot \cancel{4^n}}{\cancel{4^n}(1-0,25)}=\frac{25}{0,75}=\)
\(=\frac{2500}{75}=\frac{100}{3}=33\frac13.\)
в) \(\dfrac{10\cdot 6^n}{2^{\,n+1}\cdot 3^{\,n-1}}=\dfrac{10\cdot (2\cdot 3)^n}{2^{\,n+1}\cdot 3^{\,n-1}}=\)
\(=\dfrac{10\cdot 2^n\cdot 3^n}{2^{\,n+1}\cdot 3^{\,n-1}}=\)
\(=10\cdot 2^{n-(n+1)}\cdot 3^{n-(n-1)}=\)
\(=10\cdot 2^{-1}\cdot 3^1=15\)
г) \(\dfrac{2^{\,2n-1}\cdot 5^{\,2n+1}}{100^n}=\dfrac{2^{\,2n-1}\cdot 5^{\,2n+1}}{(2^2\cdot 5^2)^n}=\)
\(=\dfrac{2^{\,2n-1}\cdot 5^{\,2n+1}}{2^{\,2n}\cdot 5^{\,2n}}=\)
\(=2^{(2n-1)-2n}\cdot 5^{(2n+1)-2n}=\)
\(=2^{-1}\cdot 5^1=\dfrac{5}{2}=2,5.\)
Пояснения:
Используемые правила
1) Вынесение общего множителя:
\(ac-bc=c(a-b)\)
2) Свойства степеней:
\(a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}\)
\(\dfrac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}\) (при \(a\neq 0\))
\((ab)^n=a^n b^n\)
\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)
Вернуться к содержанию учебника