Упражнение 711 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 192

а) \(\small \dfrac12+\left(\dfrac{3m}{1-3m}+\dfrac{2m}{3m+1}\right)\times\)

\(\small \times\dfrac{9m^2-6m+1}{6m^2+10m}=\)

\(\small =\dfrac12+\left(\dfrac{-3m}{3m-1}^{\color{red}{\backslash{(3m+1)}}}+\dfrac{2m}{3m+1}^{\color{red}{\backslash{(3m-1)}}}\right)\times\)

\(\small \times\dfrac{(3m-1)^2}{2m(3m+5)}=\)

\(\small =\dfrac12+\left(\dfrac{-3m(3m+1)}{(3m-1)(3m+1)}+\dfrac{2m(3m-1)}{(3m-1)(3m+1)}\right)\times\)

\(\small \times\dfrac{(3m-1)^2}{2m(3m+5)}=\)

\(\small =\dfrac12+\dfrac{m\bigl(-3(3m+1)+2(3m-1)\bigr)}{(3m-1)(3m+1)}\times\)

\(\small \times\dfrac{(3m-1)^2}{2m(3m+5)}=\)

\(\small =\dfrac12+\dfrac{\cancel{m}\bigl(-9m-3+6m-2\bigr)\cdot(3m-1)^{\cancel{2}}}{\cancel{(3m-1)}(3m+1)\cdot 2\cancel{m}(3m+5)}=\)

\(\small =\dfrac12^{\color{red}{\backslash{(3m+1)}}}+\dfrac{-\cancel{\bigl(3m+5\bigr)}\cdot(3m-1)}{(3m+1)\cdot 2\cancel{(3m+5)}}=\)

\(\small=\dfrac{3m+1}{2(3m+1)}-\dfrac{3m-1}{2(3m+1)}=\)

\(\small=\dfrac{3m+1-3m+1}{2(3m+1)}=\dfrac{1}{3m+1}.\)

б) \(\small \left(\dfrac1{x+y}-\dfrac{y^2}{xy^2-x^3}\right):\)

\(:\left(\dfrac{x-y}{x^2+xy}-\dfrac{x}{y^2+xy}\right)-\dfrac{x}{x+y}=\)

\(\small =\left(\dfrac1{x+y}^{\color{red}{\backslash{x(y-x)}}}-\dfrac{y^2}{x(y^2-x^2)}\right):\)

\(\small :\left(\dfrac{x-y}{x(x+y)}^{\color{red}{\backslash{y}}}-\dfrac{x}{y(x+y)}^{\color{red}{\backslash{x}}}\right)-\dfrac{x}{x+y}=\)

\(\small =\left(\dfrac{x(y-x)}{x(y-x)(y+x)}-\dfrac{y^2}{x(y-x)(y+x)}\right):\)

\(\small :\left(\dfrac{y(x-y)}{xy(x+y)}-\dfrac{x^2}{xy(x+y)}\right)-\dfrac{x}{x+y}=\)

\(\small =\dfrac{x(y-x)-y^2}{x(y-x)(y+x)}:\dfrac{y(x-y)-x^2}{xy(x+y)}-\dfrac{x}{x+y}=\)

\(\small =\dfrac{xy-x^2-y^2}{x(y-x)(y+x)}\cdot\dfrac{xy(x+y)}{xy-y^2-x^2}-\dfrac{x}{x+y}=\)

\(\small =\dfrac{\cancel{(xy-x^2-y^2)}\cdot \cancel xy\cancel{(x+y)}}{\cancel x(y-x)\cancel{(y+x)}\cdot\cancel{(xy-y^2-x^2)}}-\dfrac{x}{y+x}=\)

\(\small =\dfrac{y}{y-x}^{\color{red}{\backslash{y+x}}}-\dfrac{x}{y+x}^{\color{red}{\backslash{y-x}}}=\)

\(\small =\dfrac{y(y+x)}{(y-x)(y+x)}-\dfrac{x(y-x)}{(y-x)(y+x)}=\)

\(\small =\dfrac{y(y+x)-x(y-x)}{y^2-x^2}=\)

\(\small=\dfrac{y^2+xy-xy+x^2}{y^2-x^2}=\)

\(=\frac{y^2+x^2}{y^2-x^2}.\)

в) \(\small \dfrac{2a+3}{2a-3}\cdot\left(\dfrac{2a^2+3a}{4a^2+12a+9}-\dfrac{3a+2}{2a+3}\right)+\)

\(\small+\dfrac{4a-1}{2a-3}-\dfrac{a-1}{a}=\)

\(\small =\dfrac{2a+3}{2a-3}\cdot\left(\dfrac{a(2a+3)}{(2a+3)^2}-\dfrac{3a+2}{2a+3}\right)+\)

\(\small +\dfrac{4a-1}{2a-3}-\dfrac{a-1}{a}=\)

\(\small =\dfrac{2a+3}{2a-3}\cdot\left(\dfrac{a-(3a+2)}{2a+3}\right)+\)

\(\small +\dfrac{4a-1}{2a-3}-\dfrac{a-1}{a}=\)

\(\small =\dfrac{2a+3}{2a-3}\cdot\dfrac{-2a-2}{2a+3}+\)

\(\small +\dfrac{4a-1}{2a-3}-\dfrac{a-1}{a}=\)

\(\small =\dfrac{(2a+3)\cdot(-2a-2)}{(2a-3)(2a+3)}+\dfrac{4a-1}{2a-3}-\dfrac{a-1}{a}=\)

\(\small =\dfrac{-2a-2}{2a-3}+\dfrac{4a-1}{2a-3}-\dfrac{a-1}{a}=\)

\(\small =\dfrac{-2a-2+4a-1}{2a-3}-\dfrac{a-1}{a}=\)

\(\small =\dfrac{2a-3}{2a-3}-\dfrac{a-1}{a}=1-\dfrac{a-1}{a}=\)

\(=\small \frac{a}{a}-\dfrac{a-1}{a}=\dfrac1a\)

г) \(\small \left(\dfrac{a+3}{a^2+2a+1}+\dfrac{a-1}{a^2-2a-3}\right)\times\)

\(\small \times\dfrac{a^2-2a-3}{a+2}-1=\)

\(\small =\left(\dfrac{a+3}{(a+1)^2}^{\color{red}{\backslash{(a-3)}}}+\dfrac{a-1}{(a-3)(a+1)}^{\color{red}{\backslash{(a+1)}}}\right)\times\)

\(\small \times\dfrac{(a-3)(a+1)}{a+2}-1=\)

\(\small =\left(\dfrac{(a+3)(a-3)}{(a+1)^2}+\dfrac{(a-1)(a+1)}{(a-3)(a+1)^2}\right)\times\)

\(\small \times\dfrac{(a-3)(a+1)}{a+2}-1=\)

\(\small =\dfrac{a^2-9+a^2-1}{(a+1)^2(a-3)}\cdot\dfrac{(a-3)(a+1)}{a+2}-1=\)

\(\small =\dfrac{(2a^2-10)\cdot\cancel{(a-3)}\cancel{(a+1)}}{(a+1)^{\cancel{2}}\cancel{(a-3)}(a+2)}-1=\)

\(\small=\dfrac{2a^2-10}{(a+1)(a+2)}-\dfrac{(a+1)(a+2)}{(a+1)(a+2)}=\)

\(\small=\dfrac{2a^2-10}{(a+1)(a+2)}-\dfrac{a^2+a+2a+2}{(a+1)(a+2)}=\)

\(\small=\dfrac{2a^2-10-a^2-3a-2}{(a+1)(a+2)}=\)

\(\small =\dfrac{a^2-3a-12}{a^2+3a+2}.\)

\(a^2-2a-3=0\)

\(a'=1; b=-2; c=-3.\)

\(D=b^2-4a'c=\)

\(=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=16,\)

\(\sqrt D = 4.\)

\(a_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt D}{2a'}\)

\(a_{1}=\frac{2+4}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3\)

\(a_{1}=\frac{2-4}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1.\)

\(a^2-2a-3=(a-3)(a+1)\)

д) \(\small \dfrac{3(m+3)}{m^2+3m+9}+\dfrac{m^3-3m^2}{(m+3)^2}\times\)

\(\small \times\left(\dfrac{3m}{m^3-27}+\dfrac1{m-3}\right)=\)

\(\small =\dfrac{3(m+3)}{m^2+3m+9}+\dfrac{m^2(m-3)}{(m+3)^2}\times\)

\(\small \times\left(\dfrac{3m}{(m-3)(m^2+3m+9)}+\dfrac1{m-3}^{\color{red}{\backslash{(m^2+3m+9)}}}\right)=\)

\(\small =\dfrac{3(m+3)}{m^2+3m+9}+\dfrac{m^2(m-3)}{(m+3)^2}\times\)

\(\small \times \bigg( \dfrac{3m}{(m-3)(m^2+3m+9)}+\)

\(\small +\dfrac{m^2+3m+9}{(m-3)(m^2+3m+9)}\bigg)=\)

\(\small=\dfrac{3(m+3)}{m^2+3m+9}+\dfrac{m^2(m-3)}{(m+3)^2}\times\)

\(\small \times\dfrac{3m+m^2+3m+9}{(m-3)(m^2+3m+9)}=\)

\(\small =\dfrac{3(m+3)}{m^2+3m+9}+\)

\(\small+\dfrac{m^2\cancel{(m-3)}\cdot\cancel{(m+3)^2}}{\cancel{(m+3)^2}\cdot\cancel{(m-3)}(m^2+3m+9)}=\)

\(\small=\dfrac{3(m+3)}{m^2+3m+9}+\dfrac{m^2}{m^2+3m+9}=\)

\(\small=\dfrac{m^2+3m+9}{m^2+3m+9}=1.\)

е) \(\small \bigg(\dfrac{9x^2+8}{27x^3-1}-\dfrac1{3x-1}^{\color{red}{\backslash{(9x^2+3x+1)}}}+\)

\(\small +\dfrac4{9x^2+3x+1}^{\color{red}{\backslash{(3x-1)}}}\bigg)\cdot\dfrac{3x-1}{3x+1}=\)

\(\small =\bigg(\dfrac{9x^2+8}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}-\)

\(\small -\dfrac{9x^2+3x+1}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}+\)

\(\small+\dfrac{4(3x-1)}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}\bigg)\cdot\dfrac{3x-1}{3x+1}=\)

\(\small =\dfrac{9x^2+8-9x^2-3x-1+12x-4}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}\cdot\dfrac{3x-1}{3x+1}=\)

\(\small =\dfrac{9x+3}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}\cdot\dfrac{3x-1}{3x+1}=\)

\(\small =\dfrac{3\cancel{(3x+1)}\cdot\cancel{(3x-1)}}{\cancel{(3x-1)}(9x^2+3x+1)\cancel{(3x+1)}}=\)

\(=\dfrac{3}{9x^2+3x+1}.\)

---

Пояснения:

Используемые формулы и приёмы:

1) Разность кубов двух выражений:

\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]

2) Сумма кубов двух выражений:

\[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\]

3) Разность квадратов двух выражений:

\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

4) Квадрат разности двух выражений:

\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

5) Квадрат суммы двух выражений:

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

5) Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями:

\(\dfrac{p}{m}\pm\dfrac{q}{n}=\dfrac{pn\pm qm}{mn}\)

6) Деление дробей:

\(\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{D}{C}\)

7) При умножении дробей перемножают числители и знаменатели:

\(\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}.\)

После умножения выполняют сокращение общих множителей в числителе и знаменателе, если это возможно.

8) При упрощении выражений раскладываем многочлены на множители, приводим к общему знаменателю и сокращаем общие множители числителя и знаменателя.

а) Пояснение

Сначала заметили, что \(1-3m=-(3m-1)\), а также разложили:

\[9m^2-6m+1=(3m-1)^2,\quad 6m^2+10m=2m(3m+5).\]

Далее сложили дроби \(-\dfrac{3m}{3m-1}+\dfrac{2m}{3m+1}\) через общий знаменатель \((3m-1)(3m+1)\), сократили \(m\) и \((3m-1)\), после чего получилось выражение вида:

\[\dfrac12-\dfrac{3m-1}{2(3m+1)}=\dfrac{1}{3m+1}.\]

б) Пояснение

Разложили знаменатели:

\(xy^2-x^3=x(y^2-x^2)=\)

\(=x(y-x)(y+x),\)

\(x^2+xy=x(x+y),\)

\(y^2+xy=y(x+y).\)

После приведения к общим знаменателям в первой и второй скобках появляется общий множитель \(xy-x^2-y^2\), который сокращается при делении (умножении на обратную дробь). Затем остаётся:

\[\dfrac{y}{y-x}-\dfrac{x}{y+x}=\dfrac{y^2+x^2}{y^2-x^2}.\]

в) Пояснение

Замечаем квадрат в знаменателе:

\(4a^2+12a+9=(2a+3)^2\)

\(2a^2+3a=a(2a+3).\)

Поэтому \(\dfrac{2a^2+3a}{4a^2+12a+9}=\dfrac{a}{2a+3}\).

Внутри скобок получается \(\dfrac{a-(3a+2)}{2a+3}\), дальше сокращается \((2a+3)\), приводим к общему знаменателю \((2a-3)\) и получаем \(1-\dfrac{a-1}{a}=\dfrac1a\).

г) Пояснение

Разложили:

\(a^2+2a+1=(a+1)^2\)

\(a^2-2a-3=(a-3)(a+1).\)

После умножения на \(\dfrac{a^2-2a-3}{a+2}\) сокращается \((a-3)(a+1)\), затем складываем дроби внутри первой скобки через общий знаменатель \((a+1)^2(a-3)\) и получаем:

\[\dfrac{2(a^2-5)}{(a+1)(a+2)}-1=\dfrac{a^2-3a-12}{a^2+3a+2}.\]

д) Пояснение

Разложили:

\[m^3-27=(m-3)(m^2+3m+9),\quad m^3-3m^2=m^2(m-3).\]

В скобках привели к общему знаменателю \((m-3)(m^2+3m+9)\) и получили числитель \((m+3)^2\). Затем сократили \((m-3)\) и \((m+3)^2\), в итоге сумма стала:

\[\dfrac{3(m+3)}{m^2+3m+9}+\dfrac{m^2}{m^2+3m+9}=1.\]

е) Пояснение

Разложили разность кубов:

\[27x^3-1=(3x-1)(9x^2+3x+1).\]

Далее привели три дроби в скобках к общему знаменателю \((3x-1)(9x^2+3x+1)\), получили числитель \(9x+3=3(3x+1)\). После умножения на \(\dfrac{3x-1}{3x+1}\) сократились \((3x-1)\) и \((3x+1)\), осталось:

\[\dfrac{3}{9x^2+3x+1}.\]