Упражнение 713 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 193

а) \( a^2+2a+2=\)

\(=a^2+2a+1+1=\)

\( =(a+1)^2+1>0\).

б) \( 2x^2-2xy+y^2=\)

\( =x^2-2xy+y^2+x^2=\)

\( =(x-y)^2+x^2\ge0\).

Пояснения:

Используемые формулы и свойства:

Квадрат суммы двух выражений:

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

Квадрат суммы двух выражений:

\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

Квадрат любого числа неотрицателен, то есть \((\dots)^2\ge0\).

а) Преобразуем выражение \(a^2+2a+2\), выделяя полный квадрат, для этого слагаемое \(2\) раскладываем на сумму двух единиц:

\(a^2+2a+2=a^2+2a+1+1.\)

Первые три слагаемых образуют квадрат суммы:

\(a^2+2a+1=(a+1)^2.\)

Получаем:

\[(a+1)^2+1.\]

Так как квадрат любого числа неотрицателен, \((a+1)^2\ge0\), то всё выражение больше либо равно 1, а значит никогда не бывает отрицательным.

б) Преобразуем выражение:

\[2x^2-2xy+y^2.\]

Сгруппируем слагаемые:

\[x^2-2xy+y^2+x^2.\]

Первые три слагаемых образуют квадрат разности:

\[x^2-2xy+y^2=(x-y)^2.\]

Тогда выражение принимает вид:

\[(x-y)^2+x^2.\]

Каждое из этих слагаемых — квадрат числа, а квадрат любого числа неотрицателен.

Сумма неотрицательных чисел также неотрицательна, значит данное выражение при любых \(x\) и \(y\) неотрицательно.