Вернуться к содержанию учебника
Упростите выражение:
а) \(\small \left(\dfrac{7(m-2)}{m^3-8}-\dfrac{m+2}{m^2+2m+4}\right)\cdot\dfrac{2m^2+4m+8}{m-3}\);
б) \(\small \dfrac{a+5}{a^2-9}:\left(\dfrac{a+2}{a^2-3a+9}-\dfrac{2(a+8)}{a^3+27}\right)\);
в) \(\small \left(\dfrac{x+2}{3x}-\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{x-14}{3x^2-6x}\right):\dfrac{x+2}{6x}\cdot\dfrac{1}{x-5}\);
г) \(\small \left(\dfrac{4x}{9-x^2}-\dfrac{x-3}{9+3x}\right)\cdot\dfrac{18}{x+3}-\dfrac{2x}{3-x}\).
Вспомните:
а) \(\small \left(\dfrac{7(m-2)}{m^3-8}\overset{\color{red}1}{-}\dfrac{m+2}{m^2+2m+4}\right)\overset{\color{red}2}\times\)
\(\small \overset{\color{red}2}\times\dfrac{2m^2+4m+8}{m-3}=\dfrac{10-2m}{m-3}\);
1) \(\small \dfrac{7(m-2)}{m^3-8}-\dfrac{m+2}{m^2+2m+4}=\)
\(\small =\dfrac{7\cancel{(m-2)}}{\cancel{(m-2)}(m^2+2m+4)}-\)
\(\small -\dfrac{m+2}{m^2+2m+4}=\)
\(\small =\dfrac{7}{m^2+2m+4}-\dfrac{m+2}{m^2+2m+4}=\)
\(\small =\dfrac{7-m-2}{m^2+2m+4}=\dfrac{5-m}{m^2+2m+4.}\)
2) \(\small \dfrac{5-m}{m^2+2m+4}\cdot\dfrac{2m^2+4m+8}{m-3}=\)
\(\small =\dfrac{5-m}{m^2+2m+4}\cdot\dfrac{2(m^2+2m+4)}{m-3}=\)
\(\small =\dfrac{(5-m)\cdot2\cancel{(m^2+2m+4)}}{\cancel{(m^2+2m+4)}\cdot(m-3)}=\)
\(=\dfrac{2(5-m)}{m-3}=\dfrac{10-2m}{m-3}\).
б) \(\small \dfrac{a+5}{a^2-9}\overset{\color{red}2}{:}\left(\dfrac{a+2}{a^2-3a+9}\overset{\color{red}1}{-}\dfrac{2(a+8)}{a^3+27}\right)=\)
\(=\dfrac{a^2-3a+9}{a^2-5a+6}\);
1) \(\small \dfrac{a+2}{a^2-3a+9}-\dfrac{2(a+8)}{a^3+27}=\)
\(\small =\dfrac{a+2}{a^2-3a+9}^{\color{red}{\backslash{(a+3)}}}-\)
\(\small-\dfrac{2(a+8)}{(a+3)(a^2-3a+9)}=\)
\(\small =\dfrac{(a+2)(a+3)}{(a+3)(a^2-3a+9)}-\)
\(\small -\dfrac{2(a+8)}{(a+3)(a^2-3a+9)}=\)
\(\small=\dfrac{(a+2)(a+3)-2(a+8)}{(a+3)(a^2-3a+9)}=\)
\(\small=\dfrac{a^2+2a+3a+6-2a-16}{(a+3)(a^2-3a+9)}=\)
\(\small =\dfrac{a^2+3a-10}{(a+3)(a^2-3a+9)}=\)
2) \(\small \dfrac{a+5}{a^2-9}:\dfrac{a^2+3a-10}{(a+3)(a^2-3a+9)}=\)
\(\small=\dfrac{a+5}{a^2-9}\cdot\dfrac{(a+3)(a^2-3a+9)}{a^2+3a-10}=\)
\(\small =\dfrac{(a+5)\cdot\cancel{(a+3)}(a^2-3a+9)}{(a-3)\cancel{(a+3)}\cdot(a^2+3a-10)}=\)
\(\small =\dfrac{(a+5)(a^2-3a+9)}{(a-3)(a^2+3a-10)}=\)
\(\small =\dfrac{\cancel{(a+5)}(a^2-3a+9)}{(a-3)(a-2)\cancel{(a+5)}}=\)
\(\small =\dfrac{a^2-3a+9}{(a-3)(a-2)}=\dfrac{a^2-3a+9}{a^2-3a-2a+6}=\)
\(\small =\dfrac{a^2-3a+9}{a^2-5a+6}.\)
\(a^2+3a-10=0\)
\(a'=1; b=3; c=-10.\)
\(D=b^2-4a'c=\)
\(=3^2-4\cdot1\cdot(-10)=49,\) \(\sqrt D = 7.\)
\(a_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt D}{2a'}\)
\(a_{1}=\frac{-3+7}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2\)
\(a_{1}=\frac{-3-7}{2\cdot1}=-\frac{10}{2}=-5.\)
\(a^2+3a-10=(a-2)(a+5).\)
в) \(\small \left(\dfrac{x+2}{3x}-\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{x-14}{3x^2-6x}\right):\)
\(\small :\dfrac{x+2}{6x}\cdot\dfrac{1}{x-5}=\)
\(\small =\left(\dfrac{x+2}{3x}^{\color{red}{\backslash{(x-2)}}}-\dfrac{2}{x-2}^{\color{red}{\backslash{3x}}}-\dfrac{x-14}{3x(x-2)}\right)\times\)
\(\small\times\dfrac{6x}{x+2}\cdot\dfrac{1}{x-5}=\)
\(\small =\left(\dfrac{(x+2)(x-2)}{3x(x-2)}-\dfrac{6x}{3x(x-2)}-\dfrac{x-14}{3x(x-2)}\right)\times\)
\(\small\times\dfrac{6x}{x+2}\cdot\dfrac{1}{x-5}=\)
\(\small =\left(\dfrac{x^2-4-6x-x+14}{3x(x-2)}\right)\times\)
\(\small\times\dfrac{6x}{x+2}\cdot\dfrac{1}{x-5}=\)
\(\small =\dfrac{x^2-7x+10}{3x(x-2)}\cdot\dfrac{6x}{x+2}\cdot\dfrac{1}{x-5}=\)
\(\small =\dfrac{\cancel{(x-5)}\cancel{(x-2)}\cdot{\cancel{6x}}^{\color{red}2}}{\cancel{3x}\cancel{(x-2)}\cdot(x+2)\cdot\cancel{(x-5)}}=\)
\(\small=\dfrac{2}{x+2}.\)
\(x^2-7x+10=0\)
\(a=1; b=-7; c=10.\)
\(D=b^2-4ac=\)
\(=(-7)^2-4\cdot1\cdot10=9,\) \(\sqrt D = 3.\)
\(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)
\(x_{1}=\frac{7+3}{2\cdot1}=\frac{10}{2}=5\)
\(x_{2}=\frac{7-3}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2.\)
\(x^2-7x+10=(x-5)(x-2)\)
г) \(\small\left(\dfrac{4x}{9-x^2}\overset{\color{red}1}{-}\dfrac{x-3}{9+3x}\right)\overset{\color{red}2}{\cdot}\dfrac{18}{x+3}\overset{\color{red}3}{-}\dfrac{2x}{3-x}=2\)
1) \(\small \dfrac{4x}{9-x^2}-\dfrac{x-3}{9+3x} =\)
\(\small= \dfrac{4x}{9-x^2}+\dfrac{3-x}{9+3x} =\)
\(\small =\dfrac{4x}{(3-x)(3+x)}^{\color{red}{\backslash{3}}}+\dfrac{3-x}{3(x+3)}^{\color{red}{\backslash{(3-x)}}}=\)
\(\small =\dfrac{12x}{3(3-x)(3+x)}+\dfrac{(3-x)^2}{3(3-x)(3+x)}=\)
\(\small =\dfrac{12x+9-6x+x^2}{3(3-x)(3+x)}=\)
\(\small =\dfrac{9+6x+x^2}{3(3-x)(3+x)}=\)
\(\small =\dfrac{(3+x)^{\cancel{2}}}{3(3-x)\cancel{(3+x)}}=\dfrac{(3+x)}{3(3-x)}.\)
2) \(\small \dfrac{(3+x)}{3(3-x)}\cdot \dfrac{18}{x+3}=\)
\(\small =\dfrac{\cancel{(3+x)}\cdot\cancel{18}^{\color{red}6}}{\cancel{3}(3-x)\cdot\cancel{(x+3)}}=\frac{6}{3-x}.\)
3) \(\small \frac{6}{3-x}-\dfrac{2x}{3-x}=\)
\(\small= \frac{6-2x}{3-x}=\frac{2(3-x)}{3-x}=2.\)
Пояснения:
Используемые формулы и приёмы:
1) Разность кубов двух выражений:
\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]
2) Сумма кубов двух выражений:
\[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\]
3) Разность квадратов двух выражений:
\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]
4) Квадрат разности двух выражений:
\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
5) Квадрат суммы двух выражений:
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]
5) Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями:
\(\dfrac{p}{m}\pm\dfrac{q}{n}=\dfrac{pn\pm qm}{mn}\)
6) Деление дробей:
\(\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{D}{C}\)
7) При умножении дробей перемножают числители и знаменатели:
\(\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}.\)
После умножения выполняют сокращение общих множителей в числителе и знаменателе, если это возможно.
8) При упрощении выражений раскладываем многочлены на множители, приводим к общему знаменателю и сокращаем общие множители числителя и знаменателя.
Вернуться к содержанию учебника