Вернуться к содержанию учебника
Сократите дробь:
а) \(\dfrac{21a^3-6a^2b}{12ab-42a^2}\);
б) \(\dfrac{6m^3+3mn^2}{2m^3n+mn^3}\);
в) \(\dfrac{x^2-2mx+3x-6m}{x^2+2mx+3x+6m}\);
г) \(\dfrac{8ab+2a-20b-5}{4ab-8b^2+a-2b}\);
д) \(\dfrac{16a^2-8ab+b^2}{16a^2-b^2}\);
е) \(\dfrac{9x^2-25y^2}{9x^2+30xy+25y^2}\);
ж) \(\dfrac{a^2-3a}{a^2+3a-18}\);
з) \(\dfrac{4x^2-8x+3}{4x^2-1}\);
и) \(\dfrac{m^2+4m-5}{m^2+7m+10}\).
Вспомните:
а) \(\small \dfrac{21a^3-6a^2b}{12ab-42a^2}=\dfrac{3a^2(7a-2b)}{6a(2b-7a)}=\)
\(\small =\dfrac{3a^2(-(2b-7a))}{6a(2b-7a)}=\dfrac{-3a^2}{6a}=-\dfrac{a}{2}.\)
б) \(\small\dfrac{6m^3+3mn^2}{2m^3n+mn^3}=\)
\(\small=\dfrac{3m(2m^2+n^2)}{mn(2m^2+n^2)}=\dfrac{3}{n}.\)
в) \(\small \dfrac{x^2-2mx+3x-6m}{x^2+2mx+3x+6m}=\)
\(\small =\dfrac{x(x-2m)+3(x-2m)}{x(x+2m)+3(x+2m)}=\)
\(\small =\dfrac{(x+3)(x-2m)}{(x+3)(x+2m)}=\dfrac{x-2m}{x+2m}.\)
г) \(\small \dfrac{8ab+2a-20b-5}{4ab-8b^2+a-2b}=\)
\(\small =\dfrac{2a(4b+1)-5(4b+1)}{4b(a-2b)+1(a-2b)}=\)
\(\small=\dfrac{(4b+1)(2a-5)}{(4b+1)(a-2b)}=\dfrac{2a-5}{a-2b}.\)
д) \(\small \dfrac{16a^2-8ab+b^2}{16a^2-b^2}=\)
\(\small =\dfrac{(4a-b)^2}{(4a-b)(4a+b)}=\dfrac{4a-b}{4a+b}.\)
е) \(\small \dfrac{9x^2-25y^2}{9x^2+30xy+25y^2}=\)
\(\small=\dfrac{(3x-5y)(3x+5y)}{(3x+5y)^2}=\dfrac{3x-5y}{3x+5y}.\)
ж) \(\small \dfrac{a^2-3a}{a^2+3a-18}=\)
\(\small =\dfrac{a(a-3)}{(a-3)(a+6)}=\dfrac{a}{a+6}\)
\(a^2+3a-18=0\)
\(a'=1,\ b=3,\ c=-18\).
\(D=b^{2}-4ac=\)
\(=3^2 - 4\cdot1\cdot(-18) =\)
\(=9 +72 = 81\), \(\sqrt D = 9\).
\(a_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a'}\)
\(a_{1}=\dfrac{-3+9}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3\)
\(a_{2}=\dfrac{-3-9}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6.\)
\(\small a^2+3a-18=(a-3)(a+6).\)
з) \(\small \dfrac{4x^2-8x+3}{4x^2-1}=\dfrac{(2x-3)(2x-1)}{(2x-1)(2x+1)}=\)
\(\small =\dfrac{2x-3}{2x+1}\)
\(4x^2-8x+3=0\)
\(a=4,\ b=-8,\ c=3\).
\(D=b^{2}-4ac=\)
\(=(-8)^2 - 4\cdot4\cdot3 =\)
\(=64-48 = 16\), \(\sqrt D = 4\).
\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)
\(x_{1}=\dfrac{8+4}{2\cdot4}=\frac{12}{8}=1,5\)
\(x_{2}=\dfrac{8-4}{2\cdot4}=\frac{4}{8}=0,5\)
\(\small 4x^2-8x+3=4(x-1,5)(x-0,5)=\)
\(\small =(2x-3)(2x-1).\)
и) \(\small \dfrac{m^2+4m-5}{m^2+7m+10}=\)
\(\small =\dfrac{(m-1)(m+5)}{(m+2)(m+5)}=\dfrac{m-1}{m+2}.\)
1. \(m^2+4m-5=0\)
\(a=1,\ b=4,\ c=-5\).
\(D=b^{2}-4ac=\)
\(=4^2 - 4\cdot1\cdot(-5) =\)
\(=16+20 = 36\), \(\sqrt D = 6\).
\(m_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)
\(m_{1}=\dfrac{-4+6}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1\)
\(m_{1}=\dfrac{-4-6}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5.\)
\(m^2+4m-5=(m-1)(m+5)\)
2. \(m^2+7m+10=0\)
\(a=1,\ b=7,\ c=10\).
\(D=b^{2}-4ac=\)
\(=7^2 - 4\cdot1\cdot10 =\)
\(=49-40 = 9\), \(\sqrt D = 3\).
\(m_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)
\(m_{1}=\dfrac{-7+3}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2\)
\(m_{1}=\dfrac{-7-3}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5.\)
\(m^2+7m+10=(m+2)(m+5)\)
Пояснения:
Используемые правила и формулы
1) Вынесение общего множителя:
\(ac+ab=a(c+b)\)
2) Разложение многочлена на множители методом группировки:
\(uv+uw+sv+sw=\)
\(=(u+s)(v+w)\)
3) Разность квадратов двух выражений:
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
4) Квадрат суммы двух выражений:
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
5) Разложение квадратного трёхчлена:
1. Если квадратный трехчлен
\(ax^2 + bx+c\) имеет корни, то его можно разложить на множители
\(ax^2 + bx+c=a(x - x_1)(x-x_2)\),
где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.
2. При решении уравнений сначала находим дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), чтобы определить количество корней. При \(D>0\) уравнение имеет два корня.
3. Корни квадратных уравнений находим по основным формулам корней:
\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).
Вернуться к содержанию учебника