Вернуться к содержанию учебника
Докажите тождество:
а) \((a+2b)(a-2b)(a^2+4b^2)=a^4-16b^4\);
б) \((x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)=x^8-1\);
в) \((a-2)(a+2)(a^2-2a+4)(a^2+2a+4)=a^6-64\);
г) \((c^2-c-2)(c^2+c-2)=c^4-5c^2+4\).
а) \((a+2b)(a-2b)(a^2+4b^2)=a^4-16b^4\);
\((a+2b)(a-2b)(a^2+4b^2)=\)
\(=(a^2-(2b)^2)(a^2+4b^2)=\)
\(=(a^2-4b^2)(a^2+4b^2)=\)
\(=(a^2)^2-(4b^2)^2=a^4-16b^4\)
\(a^4-16b^4=a^4-16b^4\) - верно.
б) \((x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)=x^8-1\);
\((x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)=\)
\(=(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)=\)
\(=((x^2)^2-1^2)(x^4+1)=\)
\(=(x^4-1)(x^4+1)=\)
\(=(x^4)^2-1^2=x^8-1\)
\(x^8-1=x^8-1\) - верно.
в) \((a-2)(a+2)(a^2-2a+4)(a^2+2a+4)=a^6-64\);
\((a-2)(a+2)(a^2-2a+4)(a^2+2a+4)=\)
\(=(a-2)(a^2+2a+4)(a+2)(a^2-2a+4)=\)
\(=(a^3-8)(a^3+8)=(a^3)^2-8^2=\)
\(=a^6-64.\)
\(a^6-64=a^6-64\) - верно.
г) \((c^2-c-2)(c^2+c-2)=c^4-5c^2+4\).
\((c^2-c-2)(c^2+c-2)=\)
\(=((c^2-2)-c)((c^2-2)+c)=\)
\(=(c^2-2)^2-c^2=\)
\(=(c^4-4c^2+4)-c^2=\)
\(=c^4-5c^2+4.\)
\(c^4-5c^2+4=c^4-5c^2+4\) - верно.
Пояснения:
Используемые формулы:
1) Разность квадратов двух выражений:
\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).
2) Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений:
\((a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2\).
3) Сумма кубов двух выражений:
\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\).
4) Разность кубов двух выражений:
\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\).
а) Почему получается \(a^4-16b^4\)
Сначала перемножаем первые два множителя как разность квадратов:
\((a+2b)(a-2b)=a^2-(2b)^2=a^2-4b^2\)
Далее снова разность квадратов:
\((a^2-4b^2)(a^2+4b^2)=(a^2)^2-(4b^2)^2=a^4-16b^4\)
б) Почему получается \(x^8-1\)
Сначала:
\((x-1)(x+1)=x^2-1\)
Потом объединяем \((x^2-1)(x^2+1)\) как разность квадратов:
\((x^2-1)(x^2+1)=x^4-1\)
И в конце снова разность квадратов:
\((x^4-1)(x^4+1)=x^8-1\)
в) Почему получается \(a^6-64\)
Сначала замечаем, что можно сгруппировать множители так:
\(\small (a-2)(a^2+2a+4)(a+2)(a^2-2a+4).\)
Тогда первая пара множителей дает формулу разности кубов \(a\) и \(2\), вторая сумму кубов данных выражений, имеем:
\((a^3-8)(a^3+8)\).
Получаем разность квадратов \(a^3\) и \(8\):
\((a^3)^2-8^2=a^6-64.\)
г) Почему получается \(c^4-5c^2+4\)
Представляем множители как \((u-v)(u+v)\), где \(u=c^2-2\), \(v=c\):
\((c^2-c-2)(c^2+c-2)=((c^2-2)-c)((c^2-2)+c)=(c^2-2)^2-c^2\)
Раскрываем квадрат:
\((c^2-2)^2=(c^2)^2-2\cdot c^2\cdot 2+2^2=c^4-4c^2+4\)
Вычитаем \(c^2\):
\(c^4-4c^2+4-c^2=c^4-5c^2+4\)
Вернуться к содержанию учебника