Вернуться к содержанию учебника
Разложите на множители квадратный трёхчлен:
а) \(x^2 - x - 42\);
б) \(y^2 + 9y + 18\);
в) \(81x^2 + 18x + 1\);
г) \(16b^2 - 24b + 9\);
д) \(6x^2 - x - 1\);
е) \(3a^2 - 13a - 10\).
Вспомните:
а) \(x^2 - x - 42=0\)
\(a=1,\ b=-1,\ c=-42\).
\(\;D=b^{2}-4ac=\)
\(=(-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-42)=\)
\(=1+168=169,\) \( \sqrt D=13.\)
\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)
\(x_{1}=\dfrac{1+13}{2\cdot1}=\frac{14}{2}=7\)
\(x_{2}=\dfrac{1-13}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6.\)
\(x^2 - x - 42 = (x - 7)(x + 6).\)
б) \(y^2 + 9y + 18=0\)
\(a=1,\ b=9,\ c=18\).
\(\;D=b^{2}-4ac=\)
\(=9^{2}-4\cdot1\cdot18=\)
\(=81-72=9,\) \( \sqrt D=3.\)
\(y_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)
\(y_{1}=\dfrac{-9+3}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3\)
\(y_{2}=\dfrac{-9-3}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6.\)
\(y^2 + 9y + 18 =(y + 3) (y + 6).\)
в) \(81x^2 + 18x + 1 =\)
\(=(9x)^2 + 2\cdot 9x \cdot 1 + 1^2=\)
\(= (9x + 1)^2.\)
г) \(16b^2 - 24b + 9 =\)
\(=(4b)^2 - 2\cdot 4b \cdot 3 + 3^2=\)
\(= (4b - 3)^2.\)
д) \(6x^2 - x - 1=0\)
\(a=6,\ b=-1,\ c=-1\).
\(\;D=b^{2}-4ac=\)
\(=(-1)^{2}-4\cdot6\cdot(-1)=\)
\(=1+24=25,\) \( \sqrt D=5.\)
\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)
\(x_{1}=\dfrac{1+5}{2\cdot6}=\frac{6}{12}=\frac12\)
\(x_{2}=\dfrac{1-5}{2\cdot6}=\frac{-4}{12}=-\frac13.\)
\(6x^2 - x - 1=\)
\(=6\bigg(x - \frac12\bigg)\bigg(x + \frac13\bigg)=\)
\(=2\bigg(x - \frac12\bigg)\cdot3\bigg(x + \frac13\bigg)=\)
\(=(2x - 1)(3x + 1).\)
е) \(3a^2 - 13a - 10=0\)
\(a'=3,\ b=-13,\ c=-10\).
\(\;D=b^{2}-4a'c=\)
\(=(-13)^{2}-4\cdot3\cdot(-10)=\)
\(=169+120=289,\) \( \sqrt D=17.\)
\(a_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a'}\)
\(a_{1}=\dfrac{13+17}{2\cdot3}=\frac{30}{6}=5\)
\(a_{2}=\dfrac{13-17}{2\cdot3}=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}\)
\(3a^2 - 13a - 10 = \)
\(=3 (a - 5)\bigg(a + \frac23\bigg)=\)
\(= (a - 5)(3a + 2)\)
Пояснения:
Использованные приемы:
1) Если квадратный трехчлен
\(ax^2 + bx+c\) имеет корни, то его можно разложить на множители
\(ax^2 + bx+c=a(x - x_1)(x-x_2)\),
где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.
2) Корни уравнения не изменяются, если обе его части разделить или умножить на одно и то же число.
3) При решении уравнений сначала находим дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), чтобы определить количество корней. При \(D>0\) уравнение имеет два корня.
4) Корни квадратных уравнений находим по основным формулам корней:
\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).
5) В разложении коэффициент \(а\) можно внести в какую-либо скобку или разложив его на множители сразу в две скобки для получения целочисленных выражений.
6) В пунктах в) и г) используем формулы сокращенного умножения:
1. Формула квадрата суммы (задание в)):
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
2. Формула квадрата разности (задание г)):
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Вернуться к содержанию учебника