Вернуться к содержанию учебника
Упростите:
а) \(\dfrac{x^2-4x}{x^2+7x}:\dfrac{24-6x}{49-x^2}\);
б) \(\dfrac{y^3-16y}{2y+18}:\dfrac{4-y}{y^2+9y}\);
в) \(\dfrac{(a+b)^2-2ab}{4a^2}:\dfrac{a^2+b^2}{ab}\);
г) \(\dfrac{5c^3-5}{c+2}:\dfrac{(c+1)^2-c}{13c+26}\).
Вспомните:
а) \(\dfrac{x^2-4x}{x^2+7x}:\dfrac{24-6x}{49-x^2}=\)
\(=\dfrac{x^2-4x}{x^2+7x}\cdot\dfrac{49-x^2}{24-6x}=\)
\(=\dfrac{x(x-4)}{x(x+7)}\cdot\dfrac{(7-x)(7+x)}{6(4-x)}=\)
\(=\dfrac{x-4}{x+7}\cdot\dfrac{(x-7)(x+7)}{6(x-4)}=\)
\(=\dfrac{\cancel{(x-4)}\cdot(x-7)\cancel{(x+7)}}{\cancel{(x+7)}\cdot6\cancel{(x-4)}}=\)
\(=\dfrac{x-7}{6}.\)
б) \(\dfrac{y^3-16y}{2y+18}:\dfrac{4-y}{y^2+9y}=\)
\(=\dfrac{y^3-16y}{2y+18}\cdot\dfrac{y^2+9y}{4-y}=\)
\(=\dfrac{y(y^2-16)}{2(y+9)}\cdot\dfrac{y(y+9)}{4-y}=\)
\(=\dfrac{y(y-4)(y+4)}{2(y+9)}\cdot\dfrac{y(y+9)}{-(y-4)}=\)
\(=-\dfrac{y\cancel{(y-4)}(y+4)\cdot y\cancel{(y+9)}}{2\cancel{(y+9)}\cdot\cancel{(y-4)}}=\)
\(=-\dfrac{y^2(y+4)}{2}=-\frac{y^3+4y^2}{2}\)
в) \(\dfrac{(a+b)^2-2ab}{4a^2}:\dfrac{a^2+b^2}{ab}=\)
\(=\dfrac{(a+b)^2-2ab}{4a^2}\cdot\dfrac{ab}{a^2+b^2}=\)
\(=\dfrac{a^2+2ab+b^2-2ab}{4a^2}\cdot\dfrac{ab}{a^2+b^2}=\)
\(=\dfrac{a^2+b^2}{4a^2}\cdot\dfrac{ab}{a^2+b^2}=\)
\(=\dfrac{\cancel{(a^2+b^2)}\cdot \cancel{a}b}{4a^{\cancel2}\cdot\cancel{(a^2+b^2)}}=\dfrac{b}{4a}.\)
г) \(\dfrac{5c^3-5}{c+2}:\dfrac{(c+1)^2-c}{13c+26}=\)
\(=\dfrac{5c^3-5}{c+2}\cdot\dfrac{13c+26}{(c+1)^2-c}=\)
\(=\dfrac{5(c^3-1)}{c+2}\cdot\dfrac{13(c+2)}{c^2+c+1}=\)
\(\small=\dfrac{5(c-1)(c^2+c+1)}{c+2}\cdot\dfrac{13(c+2)}{c^2+c+1}=\)
\(\small=\dfrac{5(c-1)\cancel{(c^2+c+1)}\cdot13\cancel{(c+2)}}{\cancel{(c+2)}\cdot\cancel{(c^2+c+1)}}=\)
\(=65(c-1).\)
Пояснения:
Используемые правила и формулы
1) Разность квадратов двух выражений:
\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]
2) Квадрат разности двух выражений:
\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
3) Разность кубов двух выражений:
\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]
4) Деление дробей:
\(\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{D}{C}\)
5) При умножении дробей перемножают числители и знаменатели:
\(\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}.\)
После умножения выполняют сокращение общих множителей в числителе и знаменателе, если это возможно.
6) Свойство степени:
\(a^ma^n=a^{m+n}\);
\(a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
а) Сначала заменили деление на умножение на обратную дробь. Затем разложили на множители:
\(x^2-4x=x(x-4)\),
\(\;x^2+7x=x(x+7)\),
\(\;49-x^2=(7-x)(7+x)\),
\(\;24-6x=6(4-x)\).
Далее учли знаки:
\(7-x=-(x-7)\), \(4-x=-(x-4)\).
После чего сократили общие множители \((x-4)\) и \((x+7)\).
б) После перехода к умножению разложили:
\(y^3-16y=y(y^2-16)=y(y-4)(y+4)\),
\(\;2y+18=2(y+9)\),
\(\;y^2+9y=y(y+9)\),
\(\;4-y=-(y-4)\).
Сократили \((y+9)\) и \((y-4)\), знак «минус» остался из-за \(\,4-y=-(y-4)\).
в) В числителе первой дроби раскрыли квадрат суммы и привели подобные:
\((a+b)^2-2ab=a^2+2ab+b^2-2ab=a^2+b^2\).
После замены деления умножением сократился общий множитель \((a^2+b^2)\), осталось \(\dfrac{ab}{4a^2}=\dfrac{b}{4a}\).
г) Разложили:
\(5c^3-5=5(c^3-1)=5(c-1)(c^2+c+1)\),
\((c+1)^2-c=c^2+2c+1-c=c^2+c+1\),
\(13c+26=13(c+2)\).
После умножения на обратную дробь сократились \((c+2)\) и \((c^2+c+1)\), получилось \(65(c-1)\).
Вернуться к содержанию учебника