Упражнение 742 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть скорость катера в стоячей воде равна \(x\) км/ч.

\(x > 5\)

Составим уравнение:

\(\frac{75}{x+5}+\frac{75}{x-5}=2\cdot \frac{80}{x}\) \(/\times x(x+5)(x-5)\)

\(75x(x-5) + 75x(x + 5) = 160(x+5)(x-5)\)

\(75x^2 - \cancel{375x} + 75x^2 + \cancel{375x} = 160(x^2 - 25)\)

\(150x^2 = 160x^2 - 4000\)

\(150x^2 - 160x^2 = - 4000\)

\(-10x^2 = - 4000\)

\(x^2 = \frac{-4000}{-10}\)

\(x^2 = 400\)

\(x = \pm \sqrt{400}\)

\(x = \pm 20\)

\(x=-20\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: скорость катера в стоячей воде равна \(20\) км/ч.

Пояснения:

Скорость лодки по течению равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения реки, скорость лодки против течения равна разности собственной скорости лодки и скорости течения реки.

Время в пути вычисляется по формуле:

\[t=\frac{s}{v},\]

где \(s\) - пройденный путь,

\(v\) - скорость движения.

Пусть скорость катера в стоячей воде равна \(x\) км/ч. Тогда по течению он движется со скоростью \(x+5\), а против течения — \(x-5\).

Время движения по течению:

\[\frac{75}{x+5}\]

Время движения против течения:

\[\frac{75}{x-5}\]

Всё время в пути равно сумме этих двух выражений.

По условию это время в \(2\) раза больше времени, которое потребовалось бы, чтобы пройти \(80\) км в стоячей воде, то есть:

\[2\cdot \frac{80}{x}.\]

Получаем уравнение:

\(\frac{75}{x+5}+\frac{75}{x-5}=2\cdot \frac{80}{x}\).

Домножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей и выполнив преобразования, получаем уравнение \(x^2=400\), откуда \(x = \pm 20\).

Отрицательный корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательным числом, поэтому берём положительный корень \(x=20\).

\(P=P_2\cdot P_5=2! \cdot 5!=\)

\(=1\cdot2\cdot1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=240\)

Ответ: \(240 \) способов.

Пояснения:

В задаче используются перестановки и приём объединения нескольких элементов в один блок.

В задаче используется правило перестановок.

Если нужно разместить \(n\) различных объектов на \(n\) местах, то число способов равно:

\[P_n= n! \]

где \(n!\) (факториал) — это произведение всех натуральных чисел от \(1\) до \(n\):

\[ n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \]

Здесь всего \(6\) разных уроков:

\[ \text{русский язык},\ \text{алгебра},\ \text{геометрия},\ \text{биология},\ \text{история},\ \text{физкультура} \]

Но по условию два урока математики, то есть алгебра и геометрия, должны стоять рядом.

Чтобы учесть это условие, удобно считать алгебру и геометрию не двумя отдельными уроками, а одним общим блоком, в котором может быть \(2!\) вариантов перестановок. Тогда вместо \(6\) уроков мы расставляем \(5\) объектов:

\[ (\text{алгебра и геометрия}),\ \text{русский язык},\ \text{биология},\ \text{история},\ \text{физкультура} \]

Эти \(5\) объектов можно расположить в любом порядке \( 5!\) способами, тогда всего существует  \(2!\cdot 5! = 240 \) способов.

Значит, расписание, в котором два урока математики стоят рядом, можно составить \(240\) способами.