Упражнение 742 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 196

Пусть скорость катера в стоячей воде равна \(x\) км/ч.

\(x > 5\)

Составим уравнение:

\(\frac{75}{x+5}+\frac{75}{x-5}=2\cdot \frac{80}{x}\) \(/\times x(x+5)(x-5)\)

\(75x(x-5) + 75x(x + 5) = 160(x+5)(x-5)\)

\(75x^2 - \cancel{375x} + 75x^2 + \cancel{375x} = 160(x^2 - 25)\)

\(150x^2 = 160x^2 - 4000\)

\(150x^2 - 160x^2 = - 4000\)

\(-10x^2 = - 4000\)

\(x^2 = \frac{-4000}{-10}\)

\(x^2 = 400\)

\(x = \pm \sqrt{400}\)

\(x = \pm 20\)

\(x=-20\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: скорость катера в стоячей воде равна \(20\) км/ч.

Пояснения:

Скорость лодки по течению равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения реки, скорость лодки против течения равна разности собственной скорости лодки и скорости течения реки.

Время в пути вычисляется по формуле:

\[t=\frac{s}{v},\]

где \(s\) - пройденный путь,

\(v\) - скорость движения.

Пусть скорость катера в стоячей воде равна \(x\) км/ч. Тогда по течению он движется со скоростью \(x+5\), а против течения — \(x-5\).

Время движения по течению:

\[\frac{75}{x+5}\]

Время движения против течения:

\[\frac{75}{x-5}\]

Всё время в пути равно сумме этих двух выражений.

По условию это время в \(2\) раза больше времени, которое потребовалось бы, чтобы пройти \(80\) км в стоячей воде, то есть:

\[2\cdot \frac{80}{x}.\]

Получаем уравнение:

\(\frac{75}{x+5}+\frac{75}{x-5}=2\cdot \frac{80}{x}\).

Домножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей и выполнив преобразования, получаем уравнение \(x^2=400\), откуда \(x = \pm 20\).

Отрицательный корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательным числом, поэтому берём положительный корень \(x=20\).