Упражнение 744 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(x > 0\)

Составим уравнение:

\(\frac{150}{x}-\frac{150}{x+5}=1\) \(/\times x(x+5)\)

\(150(x + 5) - 150x = x(x+5)\)

\(\cancel{150x} + 750 - \cancel{150x} = x^2 + 5x\)

\(x^2 + 5x - 750 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 5\),  \(c = -750\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=5^2-4\cdot 1\cdot (-750)=\)

\(=25+3000=3025 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),  \(\sqrt{3025}=55\)

\[x_1=\frac{-5 + 55}{2\cdot1} =\frac{50}{2} = 25 \]

\(x_2=\frac{-5 - 55}{2\cdot1} =\frac{-60}{2} = -30 \) - не удовлетворяет условию.

Ответ: обычно сотрудник набирает \(25\) страниц в день.

Пояснения:

Чтобы найти время работы, нужно общее количество страниц разделить на количество страниц, набираемых за один день.

Пусть сотрудник обычно набирает \(x\) страниц в день. Тогда время выполнения всей работы равно \(\frac{150}{x}\) дней.

Если он будет набирать по \(x+5\) страниц в день, то время составит \(\frac{150}{x+5}\) дней.

По условию он закончит работу на \(1\) день раньше, получим уравнение:

\[\frac{150}{x}-\frac{150}{x+5}=1.\]

Домножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей и выполнив преобразования, получаем квадратное уравнение:

\(x^2+5x-750=0\).

Отрицательный корень не подходит, так как количество страниц не может быть отрицательным число . Следовательно, обычно сотрудник набирает \(25\) страниц в день.

\( P=P_8\cdot P_5 =8! \cdot 5! =\)

\(=(1 \cdot2 \cdot3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6\cdot 7 \cdot 8)\times\)

\(\times(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) \cdot=\)

\(= 40320\cdot120 = 4\;838\;400 \)

Ответ: \( 4\;838\;400\) способов.

Пояснения:

Сначала сборники стихов будем рассматривать как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не двенадцать, а \(8\) книг. Это можно сделать \(P_8\)  способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить \(P_5\) перестановок сборников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению \(P_8\cdot P_5.\) 

В задаче используется правило перестановок.

Если нужно разместить \(n\) различных объектов на \(n\) местах, то число способов равно:

\[P_n= n! \]

где \(n!\) (факториал) — это произведение всех натуральных чисел от \(1\) до \(n\):

\[ n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n \]