Вернуться к содержанию учебника
Решите уравнение:
а) \(4x^4-17x^2+4=0;\)
б) \(9x^4+77x^2-36=0;\)
в) \(2x^4-9x^2-5=0;\)
г) \(6x^4-5x^2-1=0.\)
Вспомните:
а) \(4x^4-17x^2+4=0\)
Пусть \(y=x^2\), \(y \ge 0\), тогда
\[4y^2-17y+4=0\]
\(a = 4\), \(b = -17\), \(c = 4\)
\(D = b^2 -4ac=\)
\[=(-17)^2-4\cdot 4\cdot 4=\]
\(=289-64=225 > 0\) - два действительных корня.
\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{225}=15\)
\[y_1=\frac{17 + 15}{2\cdot4}=\frac{32}{8}=4\]
\[y_2=\frac{17 - 15}{2\cdot4}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\]
Если \(y = 4\), то
\(x^2 = 4\)
\(x = \pm \sqrt4\)
\(x = \pm2\)
Если \(y = \frac14\). то
\(x^2 = \frac14\)
\(x = \pm \sqrt{\frac14}\)
\[x=\pm \frac{1}{2}\]
Ответ: \(x = \pm2; \,\, \pm\frac12\).
б) \(9x^4+77x^2-36=0\)
Пусть \(y=x^2\), \(y \ge 0\), тогда
\[9y^2+77y-36=0\]
\(a = 9\), \(b = 77\), \(c = -36\)
\(D = b^2 -4ac=\)
\[=77^2-4\cdot 9\cdot (-36)=\]
\(=5929+1296=7225 > 0\) - два действительных корня.
\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{7225}=85\)
\[y_1=\frac{-77 + 85}{2\cdot 9} =\frac{8}{18} =\frac{4}{9} \]
\(y_2=\frac{-77 - 85}{2\cdot 9} =\frac{-162}{18}=-9 < 0\) - не удовлетворяет условию.
Если \(y = \frac{4}{9} \), то
\(x^2=\frac{4}{9} \)
\(x = \pm \sqrt{\frac49}\)
\(x=\pm \frac{2}{3}\)
Ответ: \(x=\pm \frac{2}{3}\).
в) \(2x^4-9x^2-5=0\)
Пусть \(y=x^2\), \(y \ge 0\), тогда
\[2y^2-9y-5=0\]
\(a = 2\), \(b = -9\), \(c = -5\)
\(D = b^2 -4ac=\)
\[=(-9)^2-4\cdot 2\cdot (-5)=\]
\(=81+40=121 > 0\) - два действительных корня.
\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{121}=11\)
\[y_1=\frac{9 + 11}{2\cdot2} = \frac{20}{4} = 5\]
\(y_2=\frac{9 - 11}{2\cdot2} = \frac{-2}{4} =-\frac{1}{2} < 0\) - не удовлетворяет условию.
Если \(y = 5\), то
\(x^2=5 \)
\(x=\pm \sqrt{5}\)
Ответ: \(x=\pm \sqrt{5}\).
г) \(6x^4-5x^2-1=0\)
Пусть \(y=x^2\), \(y \ge 0\), тогда
\[6y^2-5y-1=0\]
\(a = 6\), \(b = -5\), \(c = -1\)
\(D = b^2 -4ac=\)
\[=(-5)^2-4\cdot 6\cdot (-1)=\]
\(=25+24=49 > 0\) - два действительных корня.
\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{49}=7\)
\[y_1=\frac{5 + 7}{2\cdot6}=\frac{12}{12} = 1\]
\(y_2=\frac{5 - 7}{2\cdot6}=\frac{-2}{12} = -\frac{1}{6} < 0\) - не удовлетворят условию.
Если \(y = 1\), то
\(x^2=1 \)
\(x=\pm 1\)
Ответ: \(x=\pm 1\).
Пояснения:
Во всех уравнениях используется замена:
\[y=x^2.\]
Тогда каждое уравнение четвёртой степени превращается в квадратное относительно \(y\).
После нахождения корней \(y\) возвращаемся к переменной \(x\), решая уравнения вида \(x^2=a\).
Если \(a>0\), получаем два корня
\(x=\pm \sqrt{a}\). Если \(a<0\), действительных решений нет.
Квадратное уравнение:
\(ay^2+by+c=0\)
решаем через дискриминант
\(D=b^2-4ac\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет два действительных корня:
\(y_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\).
Вернуться к содержанию учебника