Упражнение 752 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\frac{1}{2}x-2=x^3\)

\(y =\frac{1}{2}x-2\)

\(y = x^3\)

Ответ: уравнение имеет 1 корень.

б) \(-3x-1=\sqrt{x}\)

\(y = -3x - 1\)

\(y = \sqrt{x}\)

Ответ: корней нет.

в) \(\frac{1}{x}=-x^2+1\)

\(y = \frac{1}{x}\)

\(y = -x^2 + 1\)

Ответ: уравнение имеет 1 корень.

г) \(3+x^2=\frac{12}{x}\)

\(y = x^2 + 3\)

\(y = \frac{12}{x}\)

Ответ: уравнение имеет 1 корень.

Пояснения:

Метод графиков основан на том, что решения уравнения — это точки пересечения графиков функций левой и правой частей уравнения.

а) Левая часть — прямая \(y=\frac{1}{2}x-2\), правая — кубическая функция \(y=x^3\). Кубическая функция непрерывна и принимает как отрицательные, так и положительные значения. Поскольку значения выражения меняют знак, графики пересекаются хотя бы в одной точке.

б) Правая часть \(\sqrt{x}\) определена только при \(x\ge 0\) и всегда неотрицательна. Левая часть \(-3x-1\) при \(x\ge 0\) всегда отрицательна. Следовательно, графики не пересекаются.

в) Рассматриваем гиперболу \(y=\frac{1}{x}\) и параболу \(y=-x^2+1\). При положительных \(x\) обе функции могут быть положительными, поэтому существует точка пересечения. При отрицательных \(x\) знаки различны, пересечения нет.

г) Левая часть \(y=3+x^2\) — парабола, всегда положительная. Правая часть \(y=\frac{12}{x}\) положительна при \(x>0\) и отрицательна при \(x<0\). Поэтому возможна точка пересечения только при \(x>0\), и она одна.

а)  \( \begin{cases} 7-3x-4(3-1{,}5x)<0,\\ -6(1+2{,}5x)-10x-4>0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 7-3x-12+6x<0,\\ -6-15x-10x-4>0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x-5<0,\\ -25x-10>0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x<5,\\ -25x>10 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x<\dfrac{5}{3},\\ \\ x<-\dfrac{10}{25} \end{cases} \)

\( \begin{cases} x<1\dfrac{2}{3},\\ \\ x<-\dfrac{2}{5} \end{cases} \)

Ответ: \( x\in\left(-\infty;-\frac{2}{5}\right) \)

б) \( \begin{cases} 2(1{,}5x-1)-(x+4)\ge 0,\\ -(2-x)-0{,}75x\le 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x-2-x-4\ge 0,\\ -2+x-0{,}75x\le 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2x-6\ge 0,\\ 0{,}25x-2\le 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2x\ge 6,\\ 0{,}25x\le 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x\ge 3,\\ x\le 8 \end{cases} \)

Ответ: \( x\in[3;8]. \)

Пояснения:

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении систем неравенств сначала раскрываем скобки, используя распределительное свойство умножения, затем используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.