Упражнение 752 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 197

а) \(\frac{1}{2}x-2=x^3\)

\(y =\frac{1}{2}x-2\)

\(y = x^3\)

Ответ: уравнение имеет 1 корень.

б) \(-3x-1=\sqrt{x}\)

\(y = -3x - 1\)

\(y = \sqrt{x}\)

Ответ: корней нет.

в) \(\frac{1}{x}=-x^2+1\)

\(y = \frac{1}{x}\)

\(y = -x^2 + 1\)

Ответ: уравнение имеет 1 корень.

г) \(3+x^2=\frac{12}{x}\)

\(y = x^2 + 3\)

\(y = \frac{12}{x}\)

Ответ: уравнение имеет 1 корень.

Пояснения:

Метод графиков основан на том, что решения уравнения — это точки пересечения графиков функций левой и правой частей уравнения.

а) Левая часть — прямая \(y=\frac{1}{2}x-2\), правая — кубическая функция \(y=x^3\). Кубическая функция непрерывна и принимает как отрицательные, так и положительные значения. Поскольку значения выражения меняют знак, графики пересекаются хотя бы в одной точке.

б) Правая часть \(\sqrt{x}\) определена только при \(x\ge 0\) и всегда неотрицательна. Левая часть \(-3x-1\) при \(x\ge 0\) всегда отрицательна. Следовательно, графики не пересекаются.

в) Рассматриваем гиперболу \(y=\frac{1}{x}\) и параболу \(y=-x^2+1\). При положительных \(x\) обе функции могут быть положительными, поэтому существует точка пересечения. При отрицательных \(x\) знаки различны, пересечения нет.

г) Левая часть \(y=3+x^2\) — парабола, всегда положительная. Правая часть \(y=\frac{12}{x}\) положительна при \(x>0\) и отрицательна при \(x<0\). Поэтому возможна точка пересечения только при \(x>0\), и она одна.