Вернуться к содержанию учебника
Решите систему уравнений:
а) \(\begin{cases}\dfrac{2x-y}{3}-\dfrac{x-2y}{2}=\dfrac{3}{2},\\[8pt] \dfrac{2x+y}{2}-\dfrac{x+2y}{3}=\dfrac{1}{3};\end{cases}\)
б) \(\begin{cases}\dfrac{x-y+1}{2}+\dfrac{x+y-1}{5}=7,\\[8pt] \dfrac{x-y+1}{3}-\dfrac{x+y-1}{4}=-3.\end{cases}\)
Вспомните:
а) \(\begin{cases}\dfrac{2x-y}{3}-\dfrac{x-2y}{2}=\dfrac{3}{2}, /\times6 \\[8pt] \dfrac{2x+y}{2}-\dfrac{x+2y}{3}=\dfrac{1}{3} /\times6\end{cases}\)
\(\begin{cases}2(2x-y)-3(x-2y)=9 \\ 3(2x+y)-2(x+2y)=2\end{cases}\)
\(\begin{cases}4x-2y-3x+6y=9 \\ 6x+3y-2x-4y=2\end{cases}\)
\(\begin{cases}x+4y=9 \\ 4x-y=2 /\times4 \end{cases}\)
\(\begin{cases}x+4y=9 \\ 16x-4y=8 \end{cases}\) \((+)\)
1) \((x + 4y) +(16x - 4y) = 9 + 8\)
\((x + 4y) +(16x - 4y) = 9 + 8\)
\(x + \cancel{4y} +16x - \cancel{4y} =17\)
\(17x = 17\)
\(x= 1\)
2) \(1+4y=9\)
\(4y = 9 - 1\)
\(4y = 8\)
\(y = \frac84\)
\(y=2\)
Ответ: \((1; 2)\).
б) \(\begin{cases}\dfrac{x-y+1}{2}+\dfrac{x+y-1}{5}=7, /\times10 \\[8pt] \dfrac{x-y+1}{3}-\dfrac{x+y-1}{4}=-3 /\times12\end{cases}\)
\(\begin{cases} 5(x-y+1)+2(x+y-1)=70, \\ 4(x-y+1)-3(x+y-1)=-36\end{cases}\)
\(\begin{cases} 5x-5y+5+2x+2y-2=70, \\ 4x-4y+4-3x-3y+3=-36\end{cases}\)
\(\begin{cases} 7x-3y+3=70, \\ x-7y+7=-36\end{cases}\)
\(\begin{cases} 7x-3y=70-3, \\ x-7y=-36-7\end{cases}\)
\(\begin{cases} 7x-3y=67, \\ x-7y=-43\end{cases}\)
\(\begin{cases} 7(7y-43)-3y=67, \\ x=7y-43\end{cases}\)
\(7(7y-43)-3y=67\)
\(49y - 301 - 3y = 67\)
\(46y = 67 + 301\)
\(46y = 368\)
\(y = \frac{368}{46}\)
\(y = 8\)
2) \(x = 7\cdot8 - 43 = 56 - 43 = 13\)
Ответ: \((13; 8)\).
Пояснения:
Чтобы убрать дроби, умножают обе части уравнения на НОК знаменателей.
Основные способы решения систем линейных уравнений:
Подстановка: выразить одну переменную и подставить в другое уравнение.
Сложение (исключение): умножить уравнения так, чтобы одна переменная сократилась при сложении.
а) В каждом уравнении знаменатели \(2\) и \(3\), поэтому умножаем на \(6\) и получаем систему без дробей. Затем методом сложения находим \(x\), после чего \(y\).
б) В первом уравнении знаменатели \(2\) и \(5\), поэтому умножаем на \(10\), во втором уравнении знаменатели \(3\) и \(4\), поэтому умножаем на \(12\), и получаем систему без дробей, которую решаем методом подстановки.
Вернуться к содержанию учебника