Упражнение 753 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^3=7x-6\)

\(y = x^3\)

\[y=7x-6\]

Ответ: \(x=-3,\;1,\;2\).

б) \(\frac{6}{x}=0{,}5x-2\)

\(y = \frac{6}{x}\)

\(y = 0{,}5x-2\)

Ответ: \(x=-2,\;6\).

в) \(\frac{4}{x}=x^2-2x\)

\(y = \frac{4}{x}\)

\(y = x^2-2x\)

\(y = (x^2 - 2x + 1) - 1 \)

\(y= (x - 1)^2 - 1\) - парабола с вершиной в точке \((1; -1)\), полученная из параболы \(y = x^2\).

Ответ: \(x=2,6\).

г) \(\sqrt{x}=x^3\)

\(y = \sqrt x\)

\(y=x^3\)

Ответ: \(x = 0; \, 1\).

Пояснения:

Графическое решение означает нахождение точек пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой частях уравнения.

а) \(y=x^3\) - кубическая парабола, возрастает, расположена в I и III четвертях.

\(y=7x-6\) - линейная функция, графиком является возрастающая прямая.

Графики пересекаются в трех точках, следовательно, уравнение имеет три решения.

б) \(y=\frac{6}{x}\) - функция обратной пропорциональности, графиком является гипербола, расположена в I и III четвертях.

\(y=0{,}5x-2\) - линейная функция, графиком является возрастающая прямая.

Графики пересекаются в двух точках, следовательно, уравнение имеет два решения.

в) \(y=\frac{4}{x}\) - функция обратной пропорциональности, графиком является гипербола, расположена в I и III четвертях.

\(y=x^2-2x\) - парабола с вершиной в точке \((1; -1)\), полученная из параболы \(y = x^2\).

Графики пересекаются в одной точке, следовательно, уравнение имеет одно решение.

г) \(y=\sqrt{x}\) - функция арифметического квадратного корня, график расположен в I четверти.

\(y=x^3\) - кубическая парабола, возрастает, расположена в I и III четвертях.

Графики пересекаются в двух точках, следовательно, уравнение имеет два решения.

\(y=x^2-6x\)

\(y-8x=0\)

\(y=8x\)

\(x^2-6x=8x\)

\(x^2-6x-8x=0\)

\(x^2-14x=0\)

\(x(x-14)=0\)

\(x=0\) или \(x-14=0\)

                   \(x=14.\)

1) При \(x=0\):

\(y=8\cdot 0=0\)

\((0;0)\)

2) При \(x=14\):

\(y=8\cdot 14=112\)

\((14;112)\)

Ответ: да, графики пересекаются в точках \((0;0)\) и \((14;112)\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Если нужно найти точки пересечения двух графиков, их значения \(y\) приравнивают.

\[ y_1=y_2 \]

2. Если уравнение имеет вид произведения, равного нулю, то хотя бы один множитель равен нулю.

\[ ab=0 \Rightarrow a=0 \text{ или } b=0 \]

3. Чтобы найти координату \(y\), подставляют найденное значение \(x\) в уравнение прямой или параболы.

Сначала приведём уравнение прямой к привычному виду. По условию дана прямая

\[ y-8x=0 \]

Переносим \(8x\) в правую часть и получаем

\[ y=8x \]

Теперь ищем общие точки прямой и параболы. Для этого приравниваем выражения для \(y\):

\[ x^2-6x=8x \]

Переносим всё в одну сторону:

\[ x^2-6x-8x=0 \]

\[ x^2-14x=0 \]

Выносим общий множитель \(x\):

\[ x(x-14)=0 \]

Отсюда получаем два значения \(x\):

\[ x=0 \]

\[ x=14 \]

Находим координаты точек пересечения.

Если \(x=0\), то

\[ y=8\cdot 0=0 \]

Получаем первую точку:

\[ (0;0) \]

Если \(x=14\), то

\[ y=8\cdot 14=112 \]

Получаем вторую точку:

\[ (14;112) \]

Почему это действительно точки пересечения: у этих точек одинаковые координаты подходят сразу к двум уравнениям, и прямой, и параболе. Значит, оба графика проходят через них.

Схематический смысл рисунка такой:

Графиком функции \(y=x^2-6x\) является парабола, ветви которой направлены вверх, точки пересечения с осями \((0;0)\) и \((6; 0)\).

Прямая \(y=8x\) проходит через начало координат и пересекает параболу в точках \((0;0)\) и \((14;112)\).