Вернуться к содержанию учебника
Решите уравнение:
а) \(x^4-16x^2=0;\)
б) \(x=x^3;\)
в) \(1{,}2x^3+x=0;\)
г) \(0{,}4x^4=x^3;\)
д) \(x^3+6x^2-16x=0;\)
е) \(x^4+x^3-6x^2=0;\)
ж) \(x^3+x^2=9x+9;\)
з) \(2x^3+8x=x^2+4.\)
Вспомните:
а) \(x^4-16x^2=0\)
\[x^2(x^2-16)=0\]
\(x^2=0\) или \(x^2-16=0\)
\(x=0\) \(x^2=16\)
\(x=\pm \sqrt{16}\)
\(x=\pm 4\)
Ответ: \(x = -4; \, 0; \, 4\).
б) \(x=x^3\)
\[x^3-x=0\]
\[x(x^2-1)=0\]
\(x = 0\) или \(x^2 - 1 = 0\)
\(x^2 = 1\)
\(x = \pm\sqrt1\)
\(x = \pm1\)
Ответ: \(x = -1; \, 0; \, 1\).
в) \(1{,}2x^3+x=0\)
\[x(1{,}2x^2+1)=0\]
\(x=0\) или \(1{,}2x^2+1=0\)
\(1{,}2x^2=-1\)
\(x^2=-\frac{1}{1{,}2}\)
\(x^2=-\frac{10}{12}\)
\(x^2=-\frac{5}{6}\) - корней нет.
Ответ: \(x = 0\).
г) \(0{,}4x^4=x^3\)
\[0{,}4x^4-x^3=0\]
\[x^3(0{,}4x-1)=0\]
\(x^3=0\)
\(x=0\) или \(0{,}4x-1=0\)
\(0,4x = 1\)
\(x=\frac{1}{0{,}4}\)
\(x=\frac{10}{4}\)
\(x=2,5\)
Ответ: \(x = 0; \, 2,5\).
д) \(x^3+6x^2-16x=0\)
\[x(x^2+6x-16)=0\]
\(x=0\) или
\[x^2+6x-16=0\]
\(a = 1\), \(b = 6\), \(c = -16\)
\(D = b^2 - 4ac =\)
\[=6^2-4\cdot 1\cdot (-16)=\]
\(=36+64=100 > 0\) - два действительных корня.
\(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\), \(\sqrt{100}=10\)
\[x_1=\frac{-6 + 10}{2\cdot1} =\frac{4}{2} = 2 \]
\[x_2=\frac{-6 - 10}{2\cdot1} =\frac{-16}{2} = -8 \]
Ответ: \(x = -8; \, 0; \, 2\).
е) \(x^4+x^3-6x^2=0\)
\[x^2(x^2+x-6)=0\]
\[x^2=0\Rightarrow x=0\]
или \(x^2+x-6=0\)
\(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -6\)
\(D = b^2 - 4ac=\)
\(=1^2 - 4\cdot1\cdot(-6) =\)
\(=1 + 24 = 25 > 0\) - два действительных корня.
\(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\), \(\sqrt{25}=5\)
\[x_1=\frac{-1 + 5}{2\cdot1} =\frac{4}{2} = 2 \]
\[x_2=\frac{-1 - 5}{2\cdot1} =\frac{-6}{2} = -3 \]
Ответ: \(x = -3; \, 0; \, 2\).
ж) \(x^3+x^2=9x+9\)
\[x^3+x^2-9x-9=0\]
\[x^2(x+1)-9(x+1)=0\]
\[(x+1)(x^2-9)=0\]
\(x+1=0\) или \(x^2-9=0\)
\(x=-1\) \(x^2=9\)
\(x = \pm \sqrt9\)
\( x=\pm 3\)
Ответ: \(x = -3; \, -1; \, 3\).
з) \(2x^3+8x=x^2+4\)
\[2x^3-x^2+8x-4=0\]
\[(2x^3-x^2)+(8x-4)=0\]
\[x^2(2x-1)+4(2x-1)=0\]
\[(2x-1)(x^2+4)=0\]
\(2x-1=0\) или \(x^2+4=0\)
\(2x=1\) \(x^2=-4\) - нет корней.
\(x=\frac{1}{2}\)
\(x = 0,5\)
Ответ: \(x = 0,5\).
Пояснения:
Используемые приёмы:
- вынесение общего множителя:
\(ab+ac=a(b+c)\),
- разложение на множители (группировка),
- произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю,
- квадратное уравнение:
\(ax^2+bx+c=0\)
решаем через дискриминант
\(D=b^2-4ac\).
Если \(D > 0\), то уравнение имеет два действительных корня:
\(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\).
- неполное квадратное уравнение
\(x^2 = a\) имеет при \(a > 0\) корни
\(x_{1,2} = \pm\sqrt a\) и не имеет корней при \(a < 0\).
Вернуться к содержанию учебника