Вернуться к содержанию учебника
Приведите уравнение к виду \(x^n=a\) и решите его:
а) \(\dfrac{1}{8}x^3=1;\)
б) \(1000x^3+1=0;\)
в) \(\dfrac{1}{27}x^3=0{,}001;\)
г) \(\dfrac{1}{9}x^4-16=0;\)
д) \(1+x^5=0;\)
е) \(x^8-16=0.\)
Вспомните:
а) \(\frac{1}{8}x^3=1\)
\[x^3=8\]
\[x^3=2^3\]
\[x=2\]
Ответ: \(x = 2\).
б) \(1000x^3+1=0\)
\[1000x^3=-1\]
\(x^3=-\frac{1}{1000}\)
\(x^3=\left(-\frac{1}{10}\right)^3\)
\[x=-\frac{1}{10}\]
\(x = -0,1\)
Ответ: \(x = -0,1\).
в) \(\frac{1}{27}x^3=0{,}001\) \(/\times 27\)
\[x^3=0{,}027\]
\[x^3=0{,}3^3\]
\[x=0{,}3\]
Ответ: \(x = 0,3\).
г) \(\frac{1}{9}x^4-16=0\)
\(\frac{1}{9}x^4=16\) \(/\times 9\)
\(x^4=144\)
\((x^2)^2=(\pm12)^2\)
\(x^2 = \pm12\)
Если \(x^2 = 12\), то
\(x = \pm\sqrt{12}\)
\(x = \pm \sqrt{4\cdot3}\)
\(x = \pm 2\sqrt3\)
Если \(x^2 = -12\), то корней нет.
Ответ: \(x = \pm 2\sqrt3\).
д) \(1+x^5=0\)
\[x^5=-1\]
\[x^5=(-1)^5\]
\[x=-1\]
Ответ: \(x = -1\).
е) \(x^8-16=0\)
\[x^8=16\]
\[(x^2)^4=(\pm2)^4\]
\(x^2 = \pm2\)
Если \(x^2 = 2\), то
\[x=\pm \sqrt{2}\]
Если \(x^2 = -2\), то корней нет.
Ответ: \(x=\pm \sqrt{2}\).
Пояснения:
Использованные приемы:
- свойство степени:
\((a^m)^n = a^{mn}\),
- если \(x^m = a^m\), то
\(x = a\) при нечетном \(a\),
\(x = \pm a\) при четном \(a\),
- если \(x^2 = a\), то \(x = \pm\sqrt a\).
Вернуться к содержанию учебника