Упражнение 751 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\frac{1}{8}x^3=1\)

\[x^3=8\]

\[x^3=2^3\]

\[x=2\]

Ответ: \(x = 2\).

б) \(1000x^3+1=0\)

\[1000x^3=-1\]

\(x^3=-\frac{1}{1000}\)

\(x^3=\left(-\frac{1}{10}\right)^3\)

\[x=-\frac{1}{10}\]

\(x = -0,1\)

Ответ: \(x = -0,1\).

в) \(\frac{1}{27}x^3=0{,}001\)  \(/\times 27\)

\[x^3=0{,}027\]

\[x^3=0{,}3^3\]

\[x=0{,}3\]

Ответ: \(x = 0,3\).

г) \(\frac{1}{9}x^4-16=0\)

\(\frac{1}{9}x^4=16\)  \(/\times 9\)

\(x^4=144\)

\((x^2)^2=(\pm12)^2\)

\(x^2 = \pm12\)

Если \(x^2 = 12\), то

\(x = \pm\sqrt{12}\)

\(x = \pm \sqrt{4\cdot3}\)

\(x = \pm 2\sqrt3\)

Если \(x^2 = -12\), то корней нет.

Ответ: \(x = \pm 2\sqrt3\).

д) \(1+x^5=0\)

\[x^5=-1\]

\[x^5=(-1)^5\]

\[x=-1\]

Ответ: \(x = -1\).

е) \(x^8-16=0\)

\[x^8=16\]

\[(x^2)^4=(\pm2)^4\]

\(x^2 = \pm2\)

Если \(x^2 = 2\), то

\[x=\pm \sqrt{2}\]

Если \(x^2 = -2\), то корней нет.

Ответ: \(x=\pm \sqrt{2}\).

Пояснения:

Использованные приемы:

- свойство степени:

\((a^m)^n = a^{mn}\),

- если \(x^m = a^m\), то

\(x = a\) при нечетном \(a\),

\(x = \pm a\) при четном \(a\),

- если \(x^2 = a\), то \(x = \pm\sqrt a\).

а) \( \small \left(\dfrac{a-3}{a^2-3a+9}-\dfrac{6a-18}{a^3+27}\right):\)

\( \small :\dfrac{5a-15}{4a^3+108}= \)

\( \small = \left(\dfrac{a-3}{a^2-3a+9}^{\color{blue}{\backslash{a+3}}}-\dfrac{6a-18}{(a+3)(a^2-3a+9)}\right):\)

\(\small :\dfrac{5(a-3)}{4(a^3+27)}= \)

\(\small =\dfrac{(a-3)(a+3)-6(a-3)}{(a+3)(a^2-3a+9)}:\)

\(\small :\dfrac{5(a-3)}{4(a+3)(a^2-3a+9)}= \)

\(=\dfrac{(a-3)\bigl((a+3)-6\bigr)}{(a+3)(a^2-3a+9)}:\)

\(:\dfrac{5(a-3)}{4(a+3)(a^2-3a+9)} =\)

\(= \dfrac{(a-3)^2}{(a+3)(a^2-3a+9)}\times\)

\(\times\dfrac{4(a+3)(a^2-3a+9)}{5(a-3)}= \)

\(= \dfrac{4(a-3)}{5} \)

б) \(\small \dfrac{ab^2-a^2b}{a+b}\cdot\dfrac{a+\dfrac{ab}{a-b}}{a-\dfrac{ab}{a+b}} =\)

\(\small = \dfrac{ab(b-a)}{a+b}\cdot\dfrac{\dfrac{a(a-b)+ab}{a-b}}{\dfrac{a(a+b)-ab}{a+b}} =\)

\(\small =\dfrac{ab(b-a)}{a+b}\cdot\dfrac{\dfrac{a^2-ab+ab}{a-b}}{\dfrac{a^2+ab-ab}{a+b}}= \)

\(\small = \dfrac{ab(b-a)}{a+b}\cdot\dfrac{\dfrac{a^2}{a-b}}{\dfrac{a^2}{a+b}} =\)

\(\small = \dfrac{ab(b-a)}{a+b}\cdot\dfrac{a^2}{a-b}\cdot\dfrac{a+b}{a^2}=\)

\(= \dfrac{ab(b-a)}{a-b} =\)

\(=\dfrac{ab\bigl(-(a-b)\bigr)}{a-b} = -ab \)

Пояснения:

В этой задаче используются формулы сокращённого умножения и правила действий с алгебраическими дробями.

Основные формулы:

Сумма кубов двух выражений:

\[ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \]

Правило деления дробей:

\[ \dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{D}{C} \]

И правило приведения дробей к общему знаменателю.

Пояснение к пункту а).

Сначала преобразуем вторую дробь в скобках и дробь, на которую делим.

Разлагаем:

\[ a^3+27=(a+3)(a^2-3a+9) \]

Поэтому выражение в скобках удобно привести к общему знаменателю

\[ (a+3)(a^2-3a+9). \]

Первая дробь получает дополнительный множитель \(a+3\), а во второй выносим общий множитель \(6\) в числителе.

После приведения к общему знаменателю получаем числитель:

\[ (a-3)(a+3)-6(a-3). \]

Здесь выносим общий множитель \(a-3\):

\[ (a-3)\bigl((a+3)-6\bigr)=(a-3)(a-3)=(a-3)^2. \]

Дальше деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь. После этого сокращаются одинаковые множители:

\[ (a+3), \quad (a^2-3a+9), \quad (a-3). \]

Остаётся:

\[ \dfrac{4(a-3)}{5}. \]

Пояснение к пункту б).

Сначала упростим первую дробь:

\[ ab^2-a^2b=ab(b-a). \]

Теперь рассмотрим сложную дробь.

В числителе:

\[ a+\dfrac{ab}{a-b}=\dfrac{a(a-b)}{a-b}+\dfrac{ab}{a-b}=\]

\[ =\dfrac{a(a-b)+ab}{a-b}=\dfrac{a^2-ab+ab}{a-b}=\dfrac{a^2}{a-b}. \]

В знаменателе:

\[ a-\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{a(a+b)}{a+b}-\dfrac{ab}{a+b}=\]

\[ =\dfrac{a(a+b)-ab}{a+b}=\dfrac{a^2+ab-ab}{a+b}=\dfrac{a^2}{a+b}. \]

Тогда вся вторая дробь становится равной:

\[ \dfrac{\dfrac{a^2}{a-b}}{\dfrac{a^2}{a+b}}=\dfrac{a^2}{a-b}\cdot\dfrac{a+b}{a^2}. \]

Теперь перемножаем с первой дробью:

\[ \dfrac{ab(b-a)}{a+b}\cdot\dfrac{a^2}{a-b}\cdot\dfrac{a+b}{a^2}. \]

Сокращаются множители \(a+b\) и \(a^2\). Получаем:

\[ \dfrac{ab(b-a)}{a-b}. \]

Так как

\[ b-a=-(a-b), \]

то

\[ \dfrac{ab(b-a)}{a-b}=\dfrac{ab\bigl(-(a-b)\bigr)}{a-b}=-ab. \]