Упражнение 747 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 197

\[30\text{ мин}=\frac12\text{ ч}\]

\(120-45=75\) (км) - проехала легковая машина до встречи.

Составим уравнение:

\(\frac{75}{x+5}-\frac{45}{x}=\frac12\) \(/\times 2x(x+5)\)

\(150x -90(x+5) = x(x+5)\)

\(150x - 90x - 450 = x^2 + 5x\)

\(60x - 450 = x^2 + 5x\)

\(x^2 + 5x - 60x + 450 = 0\)

\[x^2-55x+450=0\]

\(a = 1\),  \(b = -55\),  \(c = 450\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\[=(-55)^2-4\cdot 1\cdot 450=\]

\(=3025-1800=1225 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{1225}=35\)

\[x_1=\frac{55 + 35}{2\cdot1}=\frac{90}{2} = 45\]

\[x_2=\frac{55 - 35}{2\cdot1}=\frac{20}{2} = 10\]

Ответ: \(45\) км/ч или \(10\) км/ч.

Пояснения:

Формулы движения:

\[t=\frac{s}{v}\]

\[30\text{ мин}=\frac12\text{ ч}\]

Дорога между селом и городом равна \(120\) км. Встретились в \(45\) км от города, значит грузовик проехал \(45\) км, а легковая автомашина:

\(120-45=75\) км.

Пусть скорость грузовика \(x\) км/ч. Тогда скорость легковой автомашины на \(5\) км/ч больше и равна \(x+5\) км/ч.

Время пути грузовика до встречи:

\[t_{\text{гр}}=\frac{45}{x}.\]

Время пути легковой до встречи:

\[t_{\text{лег}}=\frac{75}{x+5}.\]

Легковая выехала на \(\frac12\) ч раньше, значит её время до встречи больше на \(\frac12\) ч:

\[\frac{75}{x+5}-\frac{45}{x}=\frac12.\]

Домножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей и выполнив преобразования, получаем квадратное уравнение:

\[x^2-55x+450=0.\]

Решая полученное уравнение, получаем два корня \(45\) и \(10\). Следовательно, скорость грузовика \(10\) км/ч или \(45\) км/ч.