Упражнение 758 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\begin{cases}y=kx+b,\\ y=2{,}5x-3\end{cases}\)

а) Система не имеет решений при

\(k=2{,}5, \; b\ne -3\).

б) Система имеет бесконечно много решений при \(k=2{,}5,\; b=-3\).

в) Если \(x=4\), то

\[y=2{,}5\cdot 4-3=10-3=7\]

\[7=4k+b\]

\[b=7-4k\]

Например, при \(k=0,\; b=7\) система имеет единственным решением пару чисел, в которой \( x = 4\).

Пояснения:

Система задаёт две прямые:

\[y=kx+b\]

\[y=2{,}5x-3\]

а) Система не имеет решений, если прямые параллельны и не совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при \(x\) равны, а свободные члены различны:

\[k=2{,}5,\quad b\ne -3.\]

б) Система имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают полностью, то есть:

\[k=2{,}5,\quad b=-3.\]

в) Чтобы система имела единственное решение, прямые не должны быть параллельны, то есть \(k\ne 2{,}5\). Также точка пересечения должна иметь абсциссу \(x=4\).

При \(x=4\) по второму уравнению:

\[y=2{,}5\cdot 4-3=7.\]

Эта точка должна удовлетворять первому уравнению:

\[7=4k+b.\]

Отсюда связь между параметрами:

\[b=7-4k,\quad k\ne 2{,}5.\]

Например, при \(k=0\) получаем \(b=7\). Тогда система имеет единственное решение \((4;7)\).

\(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\)

\(n=10;\; k=5.\)

\( A_{10}^5 = \frac{10!}{(10-5)!}=\)

\(=\frac{5!\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot9\cdot10}{5!}=30\;240.\)

Ответ: \(30\;240\) способами.

Пояснения:

Размещением из \(n\) элементов по \(k\) \((k\le n)\) называется любое множество, состоящее из  \(k\) элементов, взятых в определенном порядке из данных \(n\) элементов.

Число размещений из \(n\) элементов по \(k\) обозначают \(A_n^k\) (читается: "\(A\) из \(n\) по \(k\)")

\(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\)

В данном случае нам нужно из 10 цветов выбрать 5, поэтому \(n=10; k=5.\)