Вернуться к содержанию учебника
Подберите значения \(k\) и \(b\) так, чтобы система уравнений
\(\begin{cases}y=kx+b,\\ y=2{,}5x-3\end{cases}\)
а) не имела решений;
б) имела бесконечно много решений;
в) имела единственным решением пару чисел, в которой \(x=4\).
Вспомните:
\(\begin{cases}y=kx+b,\\ y=2{,}5x-3\end{cases}\)
а) Система не имеет решений при
\(k=2{,}5, \; b\ne -3\).
б) Система имеет бесконечно много решений при \(k=2{,}5,\; b=-3\).
в) Если \(x=4\), то
\[y=2{,}5\cdot 4-3=10-3=7\]
\[7=4k+b\]
\[b=7-4k\]
Например, при \(k=0,\; b=7\) система имеет единственным решением пару чисел, в которой \( x = 4\).
Пояснения:
Система задаёт две прямые:
\[y=kx+b\]
\[y=2{,}5x-3\]
а) Система не имеет решений, если прямые параллельны и не совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при \(x\) равны, а свободные члены различны:
\[k=2{,}5,\quad b\ne -3.\]
б) Система имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают полностью, то есть:
\[k=2{,}5,\quad b=-3.\]
в) Чтобы система имела единственное решение, прямые не должны быть параллельны, то есть \(k\ne 2{,}5\). Также точка пересечения должна иметь абсциссу \(x=4\).
При \(x=4\) по второму уравнению:
\[y=2{,}5\cdot 4-3=7.\]
Эта точка должна удовлетворять первому уравнению:
\[7=4k+b.\]
Отсюда связь между параметрами:
\[b=7-4k,\quad k\ne 2{,}5.\]
Например, при \(k=0\) получаем \(b=7\). Тогда система имеет единственное решение \((4;7)\).
Вернуться к содержанию учебника