Упражнение 757 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[\begin{cases}5x-2y=-25,  /\times3\\ -4x+3y=27   /\times2\end{cases}\]

\(\begin{cases}15x-6y=-75, \\ -8x+6y=54 \end{cases}\)   \((+)\)

1) \((15x -6y) + (-8x + 6y) = -75 + 54\)

\(15x - \cancel{6y} - 8x + \cancel{6y} = -21\)

\(7x = -21\)

\(x = -\frac{21}{7}\)

\(x = -3\)

2) \(5\cdot(-3)-2y=-25\)

\[-15-2y=-25\]

\[-2y=-25 + 15\]

\[-2y=-10\]

\(y = \frac{-10}{-2}\)

\[y=5\]

\((-3;5)\) - точка пересечения прямых.

а) Расстояние до оси абсцисс:

\(|y|=|5|=5\)

б) Расстояние до оси ординат:

\(|x|=|-3|=3\)

в) Расстояние до начала координат:

\(\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-3)^2+5^2}=\)

\(=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\)

Ответ: а) \(5\); б) \(3\); в) \(\sqrt{34}\).

Пояснения:

Сначала находим точку пересечения прямых, решая систему линейных уравнений методом сложения.

Умножаем первое уравнение на \(3\), второе на \(2\), чтобы коэффициенты при \(y\) стали противоположными. Складываем уравнения и находим \(x=-3\).

Подставляем найденное значение в первое уравнение и получаем \(y=5\).

Расстояние от точки \((x;y)\):

— до оси абсцисс равно модулю ординаты \(|y|\);

— до оси ординат равно модулю абсциссы \(|x|\);

— до начала координат вычисляется по теореме Пифагора:

\[d=\sqrt{x^2+y^2}.\]

\(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\)

\(n=12;\; k=4.\)

\( A_{12}^4 = \frac{12!}{(12-4)!}=\)

\(=\frac{8!\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12}{8!}=11\;880.\)

Ответ: \(11\; 880\) способами.

Пояснения:

Размещением из \(n\) элементов по \(k\) \((k\le n)\) называется любое множество, состоящее из  \(k\) элементов, взятых в определенном порядке из данных \(n\) элементов.

Число размещений из \(n\) элементов по \(k\) обозначают \(A_n^k\) (читается: "\(A\) из \(n\) по \(k\)")

\(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\)

В данном случае нам надо выбрать из 12 спортсменок 4, которые будут участвовать в эстафете, поэтому \(n=12; k=4.\)