стр. 198. Контрольные вопросы и задания - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1)

\[ m \cdot n \]

2)

\[ n!=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot 1 \]

\[ \frac{49!}{47!\cdot 3!}=\frac{49\cdot 48\cdot 47!}{47!\cdot 6} \]

\[ =\frac{49\cdot 48}{6}=49\cdot 8=392 \]

3)

\[ P_n=n! \]

4)

\[ A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!} \]

5)

\[ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Пояснения:

1. Правило умножения

Если некоторое действие состоит из нескольких последовательных шагов, и первый шаг можно выполнить \(m\) способами, а второй — \(n\) способами, то общее число способов равно произведению:

\[ m \cdot n \]

Это правило обобщается на любое количество шагов.

2. Факториал

Запись \(n!\) означает произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\):

\[ n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n \]

Для вычисления выражения:

\[ \frac{49!}{47!\cdot 3!} \]

расписываем факториал:

\[ 49!=49\cdot 48\cdot 47! \]

Сокращаем \(47!\):

\[ \frac{49\cdot 48}{3!}=\frac{49\cdot 48}{6} \]

\[ =49\cdot 8=392 \]

3. Перестановки

Перестановкой из \(n\) элементов называется любой способ упорядочить все \(n\) элементов.

Число таких перестановок:

\[ P_n=n! \]

4. Размещения

Размещением из \(n\) элементов по \(k\) называется выбор \(k\) элементов с учётом порядка.

Формула:

\[ A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!} \]

5. Сочетания

Сочетанием из \(n\) элементов по \(k\) называется выбор \(k\) элементов без учёта порядка.

Формула:

\[ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Главное отличие:

— перестановки: важен порядок всех элементов;

— размещения: важен порядок выбранных элементов;

— сочетания: порядок не важен.