Упражнение 756 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 158

\(\Bigl(\tfrac{7}{4}x^4 - \tfrac{1}{8}x^3 - \tfrac{5}{4}x^2 + \tfrac{2}{5}x + \tfrac{5}{7}\Bigr) - \bigl(0{,}75x^4 - 0{,}125x^3 - 2{,}25x^2 + 0{,}4x - \tfrac{3}{7}\bigr)=\)

\(=1,75x^4 - 0,125x^3 - 1,25x^2 + 0,4x + \tfrac{5}{7} - 0{,}75x^4 + 0{,}125x^3 + 2{,}25x^2 - 0{,}4x + \tfrac{3}{7}=\)

\( = \bigl(1{,}75x^4 - 0{,}75x^4) +(-0{,}125x^3 + 0{,}125x^3) + (-1{,}25x^2 + 2{,}25x^2) + (0{,}4x - 0{,}4x) +(\tfrac{5}{7} +\tfrac{3}{7})= \)

\( = (1{,}75 - 0{,}75)x^4 +(-0{,}125 + 0{,}125)x^3 +(-1{,}25 + 2{,}25)x^2 +(0{,}4 - 0{,}4)x +\Bigl(\tfrac{5}{7} + \tfrac{3}{7}\Bigr) =\)

\(=x^4 + x^2 + \tfrac{8}{7}=\)

\(=x^4 + x^2 + 1\tfrac{1}{7} > 0\) при любом значении \(x\), так как \(x^4\ge0\) и \(x^2\ge0\) при любом значении \(x\), а \(1\tfrac{1}{7}>0.\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

1. Вычитание многочленов. При вычитании раскрыли скобки и поменяли знаки у членов второго многочлена.

2. Сбор подобных членов. Сгруппировали по степеням \(x\): коэффициенты при \(x^4\), \(x^3\), \(x^2\), \(x\) и свободные члены (числа), при этом преобразовали обыкновенные дроби в десятичные, если это возможно.

3. Положительность суммы одночленов. Для любого \(x\) справедливо \(x^4\ge0\) и \(x^2\ge0\), а

\(1\tfrac{1}{7}>0\). Следовательно,

\(x^4 + x^2 + 1\tfrac{1}{7} > 0\) при любом \(x\).

4. Вывод. Разность исходных многочленов тождественно равна \(x^4 + x^2 + 1\tfrac{1}{7}\) и поэтому всегда положительна.

Пусть \(x\) (кг) масса раствора, привезённого в первую бригаду.

Тогда во вторую бригаду привезли

\(x + 50\) кг раствора.

После 3 ч работы у первой бригады осталось \(x - 3 \cdot 150 = x - 450\) кг, а у второй бригада осталось

\(x + 50 - 3 \cdot 200 = x + 50 - 600 =\)

\(=x - 550\) кг раствора.

Известно, что в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй.

Составим уравнение:

\( x - 450 = 1{,}5\,\bigl(x - 550\bigr) \)

\( x - 450 = 1{,}5x - 825 \)

\( x - 1{,}5x = -825 + 450 \)

\( -0{,}5x = -375 \)

\(x=\tfrac{375}{0,5}\)

\(x=\tfrac{3750}{5}\)

\( x = 750 \) (кг) - раствора привезли в первую бригаду.

\(750 + 50 = 800\) (кг) - раствора привезли во вторую бригаду.

Ответ: в первую бригаду — 750 кг, во вторую бригаду — 800 кг раствора.

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. Введение переменной для первого количества раствора.

2. Расчет остатка после расхода: первоначальный объём минус израсходованный.

3. Запись условия «в 1,5 раза больше» в виде уравнения.

4. Приведение подобных членов:

\(ka + la = (k + l)a\).

 5. Решение линейного уравнения, учитывая то, что из линейного уравнения \(ax = b\) следует \(x = \tfrac{b}{a}\) при \(a\neq0\).

Пояснения к решению:

– Ввели \(x\) как объём раствора первой бригады, выразили объём второй как \(x+50\).

– Вычислили остатки раствора после трёх часов работы для каждой бригады.

– Составили уравнение по условию отношения остатков

\(x-450 = 1{,}5(x-550)\).

– Перенесли все члены с \(x\) в одну сторону и числа — в другую, упростили и получили \(x=750\).

– Найдя объём первой бригады, определили объём второй как

\(750+50=800\) кг.