Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1074 учебника 2023-2025 (стр. 212):
Какие из пар \((-3;\ 4)\), \((-2;\ -6)\), \((-4;\ 3)\) являются решениями системы уравнений:
а) \( \begin{cases} x = y - 7, \\ 3x + 4y = 0; \end{cases}\)
б) \( \begin{cases} 13x - y = 0, \\ 5x - y = -4? \end{cases} \)
№1074 учебника 2013-2022 (стр. 214):
Найдите координаты точки пересечения графиков уравнений, не выполняя построения:
а) \(5x - 4y = 16\) и \( x - 2y = 6\);
б) \(20x - 15y = 100\) и \(3x - y = 6\).
№1074 учебника 2023-2025 (стр. 212):
№1074 учебника 2013-2022 (стр. 214):
Вспомните:
№1074 учебника 2023-2025 (стр. 212):
а) \( \begin{cases} x = y - 7, \\ 3x + 4y = 0; \end{cases}\)
\((-3;\ 4)\):
\( \begin{cases} -3 = 4 - 7, \\ 3 \cdot (-3) + 4 \cdot 4 = 0; \end{cases}\)
\( \begin{cases} -3 = -3, \\ -9 + 16 = 0; \end{cases}\)
\( \begin{cases} -3 = -3, \\ 7 \ne 0; \end{cases}\)
Пара не является решением.
\((-2;\ -6)\):
\( \begin{cases} -2 = -6 - 7, \\ 3\cdot (-2) + 4\cdot (-6) = 0; \end{cases}\)
\( \begin{cases} -2 \ne -13, \\ -6 -24 = 0; \end{cases}\)
\( \begin{cases} -2 \ne -13, \\ -30\ne 0; \end{cases}\)
Пара не является решением.
\((-4;\ 3)\):
\( \begin{cases} -4 = 3 - 7, \\ 3 \cdot (-4)+ 4 \cdot 3= 0; \end{cases}\)
\( \begin{cases} -4 = -4, \\-12+ 12= 0; \end{cases}\)
\( \begin{cases} -4 = -4, \\0= 0; \end{cases}\)
Пара является решением.
Ответ: \((-4;\ 3)\)
б) \( \begin{cases} 13x - y = 0, \\ 5x - y = -4; \end{cases} \)
\((-3;\ 4)\):
\( \begin{cases} 13\cdot (-3) -4 = 0, \\ 5\cdot (-3) - 4 = -4; \end{cases} \)
\( \begin{cases} -39 -4 = 0, \\ -15 - 4 = -4; \end{cases} \)
\( \begin{cases} -43\ne 0, \\ -19 \ne -4; \end{cases} \)
Пара не является решением.
\((-2;\ -6)\):
\( \begin{cases} 13\cdot (-2) -(-6) = 0, \\ 5\cdot (-2) - (-6) = -4; \end{cases} \)
\( \begin{cases} -26 +6 = 0, \\ -10 +6 = -4; \end{cases} \)
\( \begin{cases} -20\ne 0, \\ -4 = -4; \end{cases} \)
Пара не является решением.
\((-4;\ 3)\):
\( \begin{cases} 13 \cdot (-4) - 3 = 0, \\ 5 \cdot (-4)- 3 = -4; \end{cases} \)
\( \begin{cases} -52 - 3 = 0, \\ -20- 3 = -4; \end{cases} \)
\( \begin{cases} -55 \ne 0, \\ -23 \ne -4; \end{cases} \)
Пара не является решением.
Ответ: Нет ни одной подходящей пары
Пояснения:
Чтобы проверить, является ли пара чисел решением системы, подставляем координаты точки в оба уравнения и проверяем выполнение равенств. В первой системе только пара \((-4;\ 3)\) удовлетворяет обоим уравнениям, а во второй — ни одна пара не подходит.
№1074 учебника 2013-2022 (стр. 214):
а) \( \begin{cases} 5x - 4y = 16,\\ x - 2y = 6; \end{cases} \)
\( \begin{cases} 5\cdot(6 + 2y) - 4y = 16,\\ x = 6 + 2y; \end{cases} \)
\( 5(6 + 2y) - 4y = 16\)
\(30 + 10y - 4y = 16\)
\(6y = 16- 30\)
\(6y = -14\)
\(y = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}\)
\( x = 6 + 2\cdot\bigl(-2\frac{1}{3}\bigr) = \)
\(=6 - 2\cdot\frac{7}{3} = 6 - \frac{14}{3} =\)
\(=6 - 4\frac{2}{3} =5\frac33 - 4\frac{2}{3}= 1\frac{1}{3}. \)
Ответ: \( \bigl(1\frac{1}{3}, -2\frac{1}{3}\bigr)\) - координаты точки пересечения графиков.
б) \( \begin{cases} 20x - 15y = 100,\\ 3x - y = 6. \end{cases} \)
\( \begin{cases} 20x - 15(3x - 6) = 100,\\ y = 3x - 6. \end{cases} \)
\( 20x - 15(3x - 6) = 100\)
\(20x - 45x + 90 = 100\)
\(-25x= 100-90\)
\(-25x = 10\)
\(x = -\tfrac{10}{25}\)
\(x = -\tfrac{2}{5}=-0,4\)
\( y = 3\cdot(-0,4) - 6 =\)
\(=-1,2 - 6 = -7,2. \)
Ответ: \((-0,4; -7,2)\) - координаты точки пересечения графиков.
Пояснения:
Чтобы найти координаты точек пересечения графиков без их построения, нужно решить систему, состоящую из этих уравнений. Решение системы - координаты точки пересечения графиков заданных функций.
При решении систем применён метод подстановки:
– Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую.
– Подставляем это выражение в другое уравнение, получая уравнение с одной переменной.
– Решаем полученное уравнение, находим значение первой переменной.
– Затем вычисляем вторую переменную, подставляя найденное значение обратно.
Вернуться к содержанию учебника