Упражнение 1078 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \begin{cases} 4y - x = 12, \\ 3y + x = -3; \end{cases}\)

\( \begin{cases} 4y = 12+x, \\ 3y = -3-x; \end{cases}\)

\( \begin{cases} y = \tfrac{1}{4}x + 3, \\ y = -\tfrac{1}{3}x -1 \end{cases}\)

Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.

б)  \( \begin{cases} y - 3x = 0, \\ 3y - x = 6; \end{cases}\)
\( \begin{cases} y = 3x, \\ 3y = 6+x; \end{cases}\)

\( \begin{cases} y = 3x, \\ y = \frac{1}{3}x + 2. \end{cases}\)

Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.

в) \( \begin{cases} 1{,}5x = 1, \\ -3x + 2y = -2; \end{cases}\)

\( \begin{cases} x = \frac{1}{1,5}, \\  2y = -2+3x; \end{cases}\)

\( \begin{cases} x = \frac{2}{3}\quad(\text{вертикальная прямая}), \\  y = \tfrac{3}{2}x -1. \end{cases}\)

Одна прямая вертикальная, другая — не вертикальная → пересекаются в одной точке → единственное решение.

г) \( \begin{cases} x + 2y = 3, \\ y = -0{,}5x; \end{cases}\)

\( \begin{cases}2y = 3-x, \\ y = -0{,}5x; \end{cases}\)

\( \begin{cases}y = -0,5x+1,5, \\ y = -0{,}5x; \end{cases}\)

Прямые, которые являются графиками данных линейных функций параллельны, значит, они не пересекаются и данная система не имеет решений.

д) \( \begin{cases} 2x = 11 - 2y, \\ 6y = 22 - 4x; \end{cases}\)

\( \begin{cases} 2y=-2x + 11, \\ y = \frac{22 - 4x}{6}; \end{cases}\)

\( \begin{cases} y = -x + 5,5, \\ y = -\tfrac{2}{3}x + 3\tfrac{2}{3}. \end{cases}\)

Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.

е) \( \begin{cases} -x + 2y = 8, \\ x + 4y = 10; \end{cases} \)

\( \begin{cases}2y = 8 +x, \\ 4y = 10-x; \end{cases} \)

\( \begin{cases}y = 0,5x+4, \\ 4y = -0,25x+2,5. \end{cases} \)

Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.

Пояснения:

• Если прямые имеют разные угловые коэффициенты \(k_1 \neq k_2\), они пересекаются ровно в одной точке → система имеет единственное решение.

• Если \(k_1 = k_2\) и \(b_1 = b_2\), прямые совпадают → бесконечно много решений.

• Если \(k_1 = k_2\) и \(b_1 \neq b_2\), прямые параллельны → решений нет.

а) \( \begin{cases} \displaystyle \frac{y}{4} - \frac{x}{5} = 6,            /\times20 \\ \displaystyle \frac{x}{15} + \frac{y}{12} = 0;    /\times60 \end{cases} \)

\( \begin{cases} \displaystyle 5y = 120 + 4x, \\ \displaystyle 4x + 5y = 0; \end{cases} \)

\( \begin{cases} \displaystyle y = \frac{120 + 4x}{5}, \\ \displaystyle 4x + 5\cdot\frac{120 + 4x}{5} = 0; \end{cases} \)

\(4x + \cancel5\cdot\frac{120 + 4x}{\cancel5} = 0\)

\(4x+120 + 4x =0\)

\(8x = -120\)

\(x=-\frac{120}{8}\)

\(x = -15\)

\(y = \frac{120 + 4\cdot(-15)}{5}=\)

\(= \frac{120 - 60}{5}=\frac{60}{5}=12\)

Ответ: \(x = -15\), \(y = 12\).

б) \( \begin{cases} \displaystyle \frac{6x}{5} + \frac{y}{15} = 2{,}3,      /\times30 \\ \displaystyle \frac{x}{10} - \frac{2y}{3} = 1{,}2;    /\times30 \end{cases} \)

\( \begin{cases} \displaystyle 36x + 2y = 69, \\ \displaystyle 3x - 20y = 36; \end{cases} \)

\( \begin{cases} \displaystyle 2y = 69 - 36x, \\ \displaystyle 3x - 20y = 36; \end{cases} \)

\( \begin{cases} \displaystyle y = \frac{69 - 36x}{2}, \\ \displaystyle 3x - 20\cdot \frac{69 - 36x}{2} = 36; \end{cases} \)

\(3x - ^{10}\cancel{20}\cdot \frac{69 - 36x}{\cancel2} = 36\)

\(3x - 10\cdot(69 - 36x) = 36\)

\(3x-690+360x=36\)

\(363x=36+690\)

\(363x=726\)

\(x=\frac{726}{363}\)

\(x=2\)

\(y = \frac{69 - 36\cdot2}{2}=\)

\(=\frac{69 - 72}{2}=\frac{-3}{2}=-1,5\)

Ответ: \(x=2\), \(y = -1,5\).

в) \( \begin{cases} \displaystyle \frac{x}{2} - \frac{y}{3} =2,       /\times6 \\ \displaystyle \frac{3x}{2} - y = 6;    /\times2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} \displaystyle 3x-2y=12, \\ \displaystyle 3x-2y=12. \end{cases} \)

\( \begin{cases} \displaystyle 3x-2y=12, \\ \displaystyle 3x-2y=12. \end{cases} \)

\(3x=12+2y\)

\(x=\frac{12+2y}{3}\)

Ответ: система имеет бесконечно много решений \(y\) - любое число, \(x=\frac{12+2y}{3}\).

г) \( \begin{cases} \displaystyle \frac{3x}{5} - 2y = 5,    /\times5 \\ \displaystyle x - \frac{3y}{2} = 6{,}5     /\times2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} \displaystyle 3x-10y = 25, \\ \displaystyle 2x - 3y = 13 \end{cases} \)

\( \begin{cases} \displaystyle 10y = 3x - 25, \\ \displaystyle 2x - 3y = 13 \end{cases} \)

\( \begin{cases} \displaystyle 10y = \frac{3x - 25}{10}, \\ \displaystyle 2x - 3y = 13 \end{cases} \)

\( \begin{cases} \displaystyle y = 0,3x-2,5, \\ \displaystyle 2x - 3\cdot(0,3x-2,5) = 13 \end{cases} \)

\(2x - 3\cdot(0,3x-2,5) = 13\)

\(2x - 0,9x + 7,5 = 13\)

\(1,1x = 13 - 7,5\)

\(1,1x = 5,5\)

\(x= \frac{5,5}{1,1}\)

\(x=5\)

\(y = 0,3\cdot5-2,5=\)

\(=1,5 - 2,5=-1\)

Ответ: \(x=5\), \(y = -1\)

Пояснения:

1. Сначала умножили каждое уравнение на общий знаменатель дробей, чтобы получить систему с целыми коэффициентами.

2. Применили метод подстановки: из одного уравнения выразили одну переменную, подставили в другое.

3. Привели к линейному уравнению с одной неизвестной, решили его.

4. Полученное значение подставили обратно для нахождения второй переменной.