Упражнение 1079 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \begin{cases} x = 6y - 1, \\ 2x - 10y = 3; \end{cases}\)

\( \begin{cases} 6y=x+1, \\ 10y=2x -3; \end{cases}\)

\( \begin{cases} 6y=\frac16x+\frac16, \\ y=0,2x -0,3. \end{cases}\)

Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.

б) \( \begin{cases} 5x + y = 4, \\ x + y - 6 = 0; \end{cases}\)

\( \begin{cases} y = 4-5x, \\ y = -x+6. \end{cases}\)

Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.

в) \( \begin{cases} 12x - 3y = 5, \\ 6y - 24x = -10; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3y= 12x -5, \\ 6y  = 24x-10; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y= 4x -1\frac23, \\ y  = 4x-1\frac23. \end{cases} \)

Уравнения совпадают, значит, система имеет бесконечно много решений.

Пояснения:

Для двух прямых, заданных в виде \(y = k_1x + b_1\) и \(y = k_2x + b_2\), справедливо:

– если \(k_1 \neq k_2\), прямые пересекаются в одной точке → система имеет единственное решение;

– если \(k_1 = k_2\) и \(b_1 = b_2\), прямые совпадают → бесконечно много решений;

– если \(k_1 = k_2\) и \(b_1 \neq b_2\), прямые параллельны → решений нет.

а) \( (2x - 3y)^2 + (2x + 3y)^2 =\)

\(= 4x^2 - \cancel{12xy} + 9y^2 + 4x^2 + \cancel{12xy} + 9y^2 =\)

\(=8x^2 + 18y^2. \)

б) \((2x+3y)^2- (2x-3y)^2=\).

\(= \bigl((2x+3y)-(2x-3y)\bigr)\bigl((2x+3y)+(2x-3y)\bigr) =\)

\(= \bigl(\cancel{2x}+3y-\cancel{2x}+3y\bigr)\bigl(2x+\cancel{3y}+2x-\cancel{3y}\bigr) =\)

\(=6y\cdot4x = 24xy. \)

в) \( 2\Bigl(\frac{x}{2} + \frac{y}{4}\Bigr)^2 + (2x - y)^2 =\)

\(= 2\Bigl(\frac{x^2}{4} + \frac{xy}{4} + \frac{y^2}{16}\Bigr) + \bigl(4x^2 -4xy + y^2\bigr) =\)

\(=\frac{x^2}{2} + \frac{xy}{2} + \frac{y^2}{8} + 4x^2 -4xy + y^2= \)

\(= (\frac{x^2}{2} + 4 ^{\color{blue}{\backslash2}}x^2) + (\frac{xy}{2} - 4 ^{\color{blue}{\backslash2}} xy) + (\frac{y^2}{8} + y^2  ^{\color{blue}{\backslash8}} )=\)

\(= \frac{x^2+8x^2}{2} + \frac{xy - 8xy}{2} + \frac{y^2+8y^2}{8}=\)

\(= \frac{9}{2}x^2 - \frac{7}{2}xy + \frac{9}{8}y^2= \)

\(= 4\frac{1}{2}x^2 - 3\frac{1}{2}xy + 1\frac{1}{8}y^2 \)

г) \(3 \Bigl(\frac{x}{3} + \frac{y}{9}\Bigr)^2 - (3x - y)^2 = \)

\(= 3\Bigl(\frac{x^2}{9} + \frac{2xy}{27} + \frac{y^2}{81}\Bigr) - \bigl(9x^2 -6xy + y^2\bigr) =\)

\(=\frac{x^2}{3} + \frac{2xy}{9} + \frac{y^2}{27} - 9x^2 + 6xy - y^2= \)

\(=(\frac{x^2}{3} - 9 ^{\color{blue}{\backslash3}} x^2) + (\frac{2xy}{9} + 6 ^{\color{blue}{\backslash9}} xy) + (\frac{y^2}{27} - y^2  ^{\color{blue}{\backslash27}} )=\)

\(=\frac{x^2-27x^2}{3} + \frac{2xy+54xy}{9} + \frac{y^2+27y^2}{27} =\)

\(= -\frac{26}{3}x^2 + \frac{56}{9}xy - \frac{26}{27}y^2= \)

\(= -8\frac{2}{3}x^2 + 6\frac{2}{9}xy - \frac{26}{27}y^2. \)

Пояснения:

Использованные формулы:

1. Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

2. Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)

3. Разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).\)

4. Свойство степени:

\((ab)^n=a^nb^n\).

5. Сложение подобных членов:

\(cx^2 + dx^2 = (c+d)x^2\), аналогично для \(xy\) и \(y^2\).