Упражнение 138 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle \frac{11m^4}{6n^2}\;\cdot\;\frac{5m}{6n^3} : \frac{11n^3}{12m^3} =\)

\(=\displaystyle \frac{11m^4}{6n^2}\;\cdot\;\frac{5m}{6n^3} \;\cdot\;\frac{12m^3}{11n^3} =\)

\(=\displaystyle \frac{\cancel{11}m^4\cdot5m\cdot\cancel{12}  ^2m^3}{6n^2\cdot\cancel{6}n^3\cdot\cancel{11}n^3}=\)

\(=\frac{^5\cancel{10}m^8}{_6  \cancel{18}n^8}=\frac{5m^8}{6n^8}\)

б) \(\displaystyle \frac{8x^3}{7y^3} \;:\; \frac{4x^4}{49y^2} \;:\; \frac{7x}{y^2}=\)

\(=\displaystyle \frac{8x^3}{7y^3}\;\cdot\;\frac{49y^2}{4x^4}\;\cdot\;\frac{y^2}{7x} =\)

\(=\displaystyle \frac{^2\cancel{8}x^3\cdot \cancel{49}  ^7y^2\cdot y^2}{7y^3\cdot\cancel{4}x^4\cdot\cancel{7}x}=\)

\(=\frac{^2\cancel{14}\cancel{x^3}y^{\cancel{4}}}{\cancel{7}x^{\cancel{5}  ^2}\cancel{y^3}}=\frac{2y}{x^2}.\)

Пояснения:

Использованы следующие правила:

– Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

– Свойства степеней:

\(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\),

\(x^m : x^n = x^{m-n}\).

– Сокращение дробей на общий множитель числителя и знаменателя.

а) \( \frac{m^2-3m}{8x^2} : \frac{3m}{8x} =\)

\(=\frac{m(m-3)}{8x^2}\;\cdot\;\frac{8x}{3m} =\)

\(=\frac{\cancel{m}(m-3)\cdot\cancel{8x}}{\cancel{8}x^{\cancel{2}}\cdot3\cancel{m}}=\frac{m-3}{3x}. \)

б) \( \frac{5a^2}{6b^3} : \frac{a^3}{ab - b^2}=\)

\(= \frac{5a^2}{6b^3} : \frac{a^3}{b(a-b)} =\)

\(=\frac{5a^2}{6b^3}\;\cdot\;\frac{b(a-b)}{a^3} =\)

\(=\frac{5\cancel{a^2}\cdot \cancel{b}(a-b)}{6b^{\cancel{3}  ^2}\cdot a^{\cancel{3}}}=\frac{5(a-b)}{6ab^2}. \)

в) \(\frac{x^2 + x^3}{11a^2} : \frac{4+4x}{a^3}=\)

\(= \frac{x^2(1+x)}{11a^2} : \frac{4(1+x)}{a^3} =\)

\(=\frac{x^2(1+x)}{11a^2}\;\cdot\;\frac{a^3}{4(1+x)} =\)

\(=\frac{x^2\cancel{(1+x)}\cdot a^{\cancel{3}}}{11\cancel{a^2}\cdot 4\cancel{(1+x)}}=\frac{ax^2}{44}. \)

г) \( \frac{6ax}{m^2-2m} : \frac{8ax}{3m-6}=\)

\(= \frac{6ax}{m(m-2)} : \frac{8ax}{3(m-2)} =\)

\(=\frac{6ax}{m(m-2)}\;\cdot\;\frac{3(m-2)}{8ax} =\)

\(=\frac{^3\cancel{6}\cancel{ax}\cdot 3\cancel{(m-2)}}{m\cancel{(m-2)}\cdot\cancel{8}_4  \cancel{ax}}=\frac{9}{4m}. \)

д) \( \frac{a^2 - 3ab}{3b} : (7a - 21b)=\)

\(=\frac{a(a-3b)}{3b} : 7(a-3b) =\)

\(=\frac{a(a-3b)}{3b}\;\cdot\;\frac{1}{7(a-3b)} =\)

\(=\frac{a\cancel{(a-3b)}}{3b\cdot 7\cancel{(a-3b)}}=\frac{a}{21b}. \)

е) \( (x^2 - 4y^2) : \frac{5x - 10y}{x}=\)

\(= (x-2y)(x+2y) : \frac{5(x-2y)}{x} =\)

\(=(x-2y)(x+2y)\;\cdot\;\frac{x}{5(x-2y)} =\)

\(=\frac{\cancel{(x-2y)}(x+2y)\cdot x}{5\cancel{(x-2y)}}=\frac{x(x+2y)}{5}. \)

ж) \( (2a - b)^2 : \frac{4a^3 - ab^2}{3}=\)

\(= (2a-b)^2 : \frac{a(4a^2-b^2)}{3} =\)

\(= (2a-b)^2 : \frac{a(2a-b)(2a+b)}{3} =\)

\(=(2a-b)^2\;\cdot\;\frac{3}{a(2a-b)(2a+b)} =\)

\(=\frac{(2a-b)^{\cancel{2}}\cdot3}{a(2a-b)\cancel{(2a+b)}}=\frac{3(2a-b)}{a(2a+b)}. \)

з) \( (10m - 15n) : \frac{(2m - 3n)^2}{2m}=\)

\(=5(2m-3n)\;\cdot\;\frac{2m}{(2m-3n)^2} =\)

\(=\frac{5\cancel{(2m-3n)}\cdot2m}{(2m-3n)^{\cancel{2}}} =\frac{10m}{2m-3n}. \)

Пояснения:

Правила, использованные в решении:

– Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

– Разложение на множители:

-разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(ka+kb=k(a+b)\);

- свойства степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\);

\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\);

\(a^m : a^n = a^{m-n}\).

В каждом пункте сначала разложили числитель и знаменатель на множители по указанным выше формулам, перешли от деления к умножению и сократили общие множители.