Упражнение 767 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(12x^2 + 70x + a^2 + 1 = 0\)

\(a = 12\),  \(b = 70\),  \(c =a^2 + 1\)

По теореме Виета для корней \(x_1, x_2\):

\(x_1 + x_2 = -\frac{70}{12} = -\frac{35}{6} < 0\),

\(x_1 \cdot x_2 = \frac{a^2 + 1}{12} > 0\).

Если \(x_1 \cdot x_2 > 0\), то оба корня либо положительные, либо оба отрицательные. Но \(x_1 + x_2< 0\), поэтому оба корня отрицательные. Значит, уравнение не имеет положительных корней при любых значениях \(a\).

Пояснения:

Мы использовали теорему Виета: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}. \]

В нашем случае

\(a = 12\), \(b = 70\), \(c = a^2 + 1\).

Так как произведение всегда положительное, корни одного знака. Поскольку сумма отрицательна, оба корня отрицательны.

Следовательно, положительных корней у данного уравнения быть не может.

а) \(a>0\),  \(b>0\)

\(a^2 > b^2\)

\(a > b\)

\(a^3 > b^3\).

Ответ: верно.

б) \(a>0\),  \(b>0\)

\(a^3 > b^3\)

\(a > b\)

\(a^2 > b^2\).

Ответ: верно.

Пояснения:

Если числа \(a\) и \(b\)  положительны и \(a>b\), то \(a^n > b^n\), где \(n\) - натуральное число.