Упражнение 769 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[3x^2 + bx + 10 = 0\]

\(a =3\),  \(b - ?\),  \(c = 10\)

Пусть корни уравнения равны \(x_1\) и \(x_2\).

\[ x_1 - x_2 = 4 \frac{1}{3} = \frac{13}{3}. \]

По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{3}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{10}{3}. \]

Составим систему:

\( \begin{cases} x_1 - x_2 = \tfrac{13}{3} \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{10}{3} \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = \tfrac{13}{3} + x_2 \\ (\tfrac{13}{3} + x_2) \cdot x_2 = \frac{10}{3} \end{cases} \)

\((\frac{13}{3} + x_2) \cdot x_2 = \frac{10}{3}\)

\(\frac{13}{3}x_2 + x_2^2 - \frac{10}{3} = 0\)   \(/\times3\)

\(13x_2 + 3x_2^2 - 10 = 0\)

\(3x_2^2 + 13x_2 - 10=0\)

\(a = 3\),  \(b = 13\),  \(c = -10\)

\(D= b^2 - 4ac = \)

\(=13^2 - 4\cdot3\cdot(-10)=\)

\(=169 +120 = 289\),   \(\sqrt D = 17\).

\(x_{2(1,2)} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a} \)

\(x_{2(1)} = \frac{-13 + 17}{2\cdot3} =\frac{4}{6} = \frac23 \)

\(x_{2(2)} = \frac{-13 - 17}{2\cdot3} =\frac{-30}{6} = -5 \)

Если \(x_2 = \frac23\), то

\(x_1 = \frac{13}{3} + \frac23 = \frac{15}{3} = 5\)

Если \(x_2 = -5\), то

\(x_1 = \frac{13}{3} - 5 = 4\frac{1}{3} - 5 = -\frac23\)

\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{3}\)   \(/\times 3\)

\(3x_1 + 3x_2 = -b\)

Если \(x_1 = 5\),  \(x_2 = \frac23\), то

\(3\cdot5 + \cancel3\cdot\frac{2}{\cancel3} = -b\)

\(15 + 2 = -b\)

\(17 = -b\)

\(b = -17\)

2) Если \(x_1 = -\frac23\),  \(x_2 = -5\), то

\(\cancel3\cdot(-\frac{2}{\cancel3}) + 3\cdot(-5) = -b\)

\(-2 -15 = -b\)

\(-17 =b\)

\(b = 17\)

Ответ: \(b = -17\) или \(b = 17\)

Пояснения:

Использовали теорему Виета: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}. \]

Добавили третье условие о разности корней и составили систему. Решив систему методом сложения, нашли две пары значений \(x_1\) и \(x_2\).

Из равенства \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{3}\), подставляя найденные значения \(x_1\) и \(x_2\), нашли два значения \(b\):

\(b = -17\) или \(b = 17\).

а) \(6 < x < 7,\; 10 < y < 12 \)

\(6+10 < x+y < 7+12\)

\(16 < x+y < 19.\)

б) \(6 < x < 7,\; 10 < y < 12 \)

\(y - x = y + (-x)\)

\(-7 < -x < -6\)

\(10 + (-7) < y + (-x) < 12+(-6)\)

\(3 < y-x < 6.\)

в) \(6 < x < 7,\; 10 < y < 12 \)

\(6\cdot 10 < xy < 7\cdot 12\)

\(60 < xy < 84.\)

г) \(6 < x < 7,\; 10 < y < 12 \)

\(\frac{y}{x} = y\cdot \frac1x\)

\(\frac17 < \frac1x < \frac16 \)

\(10\cdot\dfrac{1}{7} < y\cdot\dfrac{1}{x} < 12\cdot\dfrac{1}{6}\)

\(\dfrac{10}{7} < \dfrac{y}{x} < \dfrac{12}{6}\)

\(1\dfrac{3}{7} < \dfrac{y}{x} < 2.\)

Пояснения:

Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых - положительные числа, то получится верное неравенство.

При выполнении вычитания неравенств, учитываем то, что вычитание можно заменить сложением с противоположным числом:

\(a - b = a + (-b)\).

При выполнении деления неравенств, учитываем то, что деление можно заменить умножением делимого на число обратное делителю: \(\frac{a}{b} = a\cdot \frac1b\).

Свойства числовых неравенств:

- если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный;

- если \(x\) и \(y\) - положительные числа и \(x < y\), то \(\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{y}\).