Упражнение 773 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[2x^2 - 5x + c = 0\]

\(a = 2\),  \(b = - 5\),  \(c - ?\)

Пусть корни уравнения \(x_1\) и \(x_2\).

\[ x_1^2 - x_2^2 = 0{,}25. \]

По теореме Виета:

\[ x_1 + x_2 = \frac{5}{2} = 2,5, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{2}. \]

\( x_1^2 - x_2^2 =0,25\)

\((x_1 - x_2)(x_1 + x_2) =0,25\)

\(2,5(x_1 - x_2) = 0,25\)   \(/ : 2,5\)

\(10(x_1 - x_2) = 0,1\)

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x_1 - x_2 = 0,1 \\ x_1 + x_2 = 2,5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 - x_2 = 0,1 \\ x_1 + x_2 = 2,5 \end{cases} \)    \((+)\)

\( \begin{cases} 2x_1 = 2,6 \\ x_1 + x_2 = 2,5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = \frac{2,6}{2} \\ x_2 = 2,5 - x_1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = 1,3 \\ x_2 = 2,5 - 1,3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = 1,3 \\ x_2 = 1,2 \end{cases} \)

\(x_1 x_2 = \frac{c}{2}\)

\(1,3\cdot1,2 = \frac{c}{2}\)

\(1,56 = \frac{c}{2}\)    \(/\times 2\)

\(c = 3,12\)

Ответ: \(c = 3,12.\)

Пояснения:

Мы использовали:

- разложение разности квадратов:

\[ x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2). \]

- теорему Виета:

\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}. \]

Учитывая то, что \( x_1^2 - x_2^2 = 0{,}25\) составили систему уравнений:

\( \begin{cases} x_1 - x_2 = 0,1 \\ x_1 + x_2 = 2,5 \end{cases}. \)

Решив систему способом сложения, нашли: \(x_1 = 1,3 \\ x_2 = 1,2\).

Учитывая то, что \(x_1 x_2 = \frac{c}{2}\), определили \(c = 3,12.\)

\(5{,}4 < a < 5{,}5\) и \(3{,}6 < b < 3{,}7\)

а) \(P = 2(a+b)\)

\(5{,}4 + 3{,}6 < a+b < 5{,}5 + 3{,}7,\)

\(9 < a+b < 9{,}2.\)

\(2\cdot9 < 2(a+b) < 2\cdot9{,}2\)

\(18 < P < 18{,}4\)

б) \(S = ab\)

\(5{,}4 \cdot 3{,}6 < ab < 5{,}5 \cdot 3{,}7\)

\(19{,}44 < S < 20{,}35\)

Ответ: а) наименьшее значение периметра 18 см, наибольшее значение периметра 18,4 см; б) наименьшее значение площади 19,44 см², наибольшее значение площади 20,35 см².

Пояснения:

Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его длины и ширины.

Площадь прямоугольника равна произведение его длины и ширины.

Если \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника, то:

- его периметр: \(P = 2(a+b)\);

- его площадь: \(S = ab\).

При оценке периметра и площади прямоугольника используем то, что:

- если части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, знак неравенства сохраняется;

- если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство;

- если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых - положительные числа, то получится верное неравенство.