Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№776 учебника 2023-2025 (стр. 177):
Выразите через \(p\) и \(q\) сумму квадратов корней уравнения \[x^2 + px + q = 0.\]
№776 учебника 2013-2022 (стр. 173):
(Для работы в парах.) Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел, докажите, что при \(a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0\) верно неравенство:
а) \((a+b)(b+c)(a+c) \geq 8abc;\)
б) \(\dfrac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \geq abc.\)
1) Обсудите, какие свойства неравенств можно использовать при доказательстве неравенств. Запишите неравенство, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел \(a\) и \(b\).
2) Распределите, кто выполняет доказательство неравенства а), а кто — неравенства б). Проведите доказательство.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенства.
№776 учебника 2023-2025 (стр. 177):
Вспомните:
№776 учебника 2013-2022 (стр. 173):
Вспомните:
№776 учебника 2023-2025 (стр. 177):
\[x^2 + px + q = 0\]
Пусть корни уравнения равны \(x_1\) и \(x_2\).
По теореме Виета:
\[ x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 x_2 = q. \]
\( x_1^2 + x_2^2 =\)
\(=x_1^2 + 2x_1x_2+ x_2^2 - 2x_1x_2=\)
\(=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2=\)
\(=(-p)^2 - 2q = p^2 - 2q\)
Ответ: сумма квадратов корней равна \(p^2 - 2q.\)
Пояснения:
Использованные приемы и формулы:
- квадрат суммы двух выражений:
\((x_1 + x_2) = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2\).
- значение выражения не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же выражение, поэтому:
\( x_1^2 + x_2^2 =\)
\(=x_1^2 + 2x_1x_2+ x_2^2 - 2x_1x_2=\)
\(=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\)
- теорема Виета:
\[ x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 x_2 = q. \]
№776 учебника 2013-2022 (стр. 173):
а) \((a+b)(b+c)(a+c) \geq 8abc.\)
\(a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0\)
\(\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab},\)
\(\dfrac{b+c}{2} \geq \sqrt{bc},\)
\(\dfrac{a+c}{2} \geq \sqrt{ac}.\)
\(\dfrac{a+b}{2}\cdot\dfrac{b+c}{2}\cdot\dfrac{a+c}{2} \geq \sqrt{ab} \cdot \sqrt{bc} \cdot \sqrt{ac} \)
\(\dfrac{(a+b)(b+c)(a+c)}{8} \geq \sqrt{ab \cdot bc \cdot ac} \)
\(\dfrac{(a+b)(b+c)(a+c)}{8} \geq \sqrt{a^2 b^2 c^2} \)
\(\dfrac{(a+b)(b+c)(a+c)}{8} \geq abc.\)
\(8\cdot\dfrac{(a+b)(b+c)(a+c)}{8} \geq 8abc.\)
\((a+b)(b+c)(a+c) \geq 8abc.\)
Что и требовалось доказать.
б) \(\dfrac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \geq abc\)
\(a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0\)
\(\dfrac{a+1}{2} \geq \sqrt{a},\)
\(\dfrac{b+1}{2} \geq \sqrt{b},\)
\(\dfrac{a+c}{2} \geq \sqrt{ac},\)
\(\dfrac{b+c}{2} \geq \sqrt{bc}.\)
\(\dfrac{a+1}{2}\cdot\dfrac{b+1}{2}\cdot\dfrac{a+c}{2}\cdot\dfrac{b+c}{2} \geq \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{ac} \cdot \sqrt{bc}\)
\(\dfrac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \geq \sqrt{a \cdot b \cdot ac \cdot bc}\)
\(\dfrac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \geq \sqrt{a^2 b^2 c^2}\)
\(\dfrac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \geq abc.\)
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел \(x\) и \(y\) выражается следующим неравенством:
\(\dfrac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}.\)
При выполнении доказательств помним:
- если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых - положительные числа, то получится верное неравенство.
- если части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, знак неравенства сохраняется.
Свойства арифметического корня:
1) \(\sqrt a\cdot \sqrt b = \sqrt{ab}\),
2) \(\sqrt {a^2} = |a| = a\), если \(a \geq 0\)
Вернуться к содержанию учебника