Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№772 учебника 2023-2025 (стр. 177):
Квадрат разности корней уравнения \[x^2 + px + 90 = 0\] равен \(81\). Найдите \(p\).
№772 учебника 2013-2022 (стр. 172):
Известны границы длин основания \(a\) и боковой стороны \(b\) равнобедренного треугольника, выраженные в миллиметрах:
\(26 \leq a \leq 28\) и \(41 \leq b \leq 43.\)
Оцените периметр этого треугольника.
№772 учебника 2023-2025 (стр. 177):
Вспомните:
№772 учебника 2013-2022 (стр. 172):
Вспомните:
№772 учебника 2023-2025 (стр. 177):
\[x^2 + px + 90 = 0\]
\(a = 1\), \(b = p\), \(c = 90\)
Пусть корни уравнения \(x_1\) и \(x_2\).
\[ (x_1 - x_2)^2 = 81. \]
\[ x_1 - x_2 = \pm\sqrt{81} \]
\(x_1 - x_2 = \pm9\)
По теореме Виета:
\[ x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 \cdot x_2 = 90. \]
1) \(x_1 - x_2 = 9\)
Составим систему уравнений:
\( \begin{cases} x_1 - x_2 = 9 \\ x_1 \cdot x_2 = 90 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x_1 = 9 + x_2 \\ (9+x_2) \cdot x_2 = 90 \end{cases} \)
\(9x_2+x_2^2 - 90 = 0\)
\(x_2^2 +9x_2 - 90 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 9\), \(c = -90\)
\(D = b^2 - 4ac = \)
\(=9^2 -4\cdot 1\cdot (-90) =\)
\(=81 + 360 = 441\), \(\sqrt D = 21\).
\(x_{2(1,2)} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)
\(x_{2(1)} = \frac{-9+21}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6\)
\(x_{2(2)} = \frac{-9-21}{2\cdot1}=\frac{-30}{2}=-15\)
Если \(x_2 = 6\), то
\(x_1 = 9 + 6 = 15\).
\(x_1 + x_2 = -p\)
\(15 + 6 = -p\)
\(21 = -p\)
\(p = -21\)
Если \(x_2 = -15\), то
\(x_1 = 9 -15 = -6\).
\(x_1 + x_2 = -p\)
\(-6 + (-15) = -p\)
\(-21 = -p\)
\(p = 21\)
2) \(x_1 - x_2 = -9\)
Составим систему уравнений:
\( \begin{cases} x_1 - x_2 = -9 \\ x_1 \cdot x_2 = 90 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x_1 = x_2 - 9 \\ (x_2 - 9) \cdot x_2 = 90 \end{cases} \)
\((x_2 - 9) \cdot x_2 = 90\)
\(x_2^2 -9x_2 - 90 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -9\), \(c = -90\)
\(D = b^2 - 4ac = \)
\(=(-9)^2 - 4\cdot1\cdot(-90) =\)
\(=81 +360 = 441\), \(\sqrt D = 21\).
\(x_{2(1,2)} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)
\(x_{2(1)} = \frac{-(-9)+21}{2\cdot1}=\frac{30}{2}=15\)
\(x_{2(2)} = \frac{-(-9)-21}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6\)
Если \(x_2 = 15\), то
\(x_1 = 15 -9 = 6\).
\(x_1 + x_2 = -p\)
\(6 + 15 = -p\)
\(21 = -p\)
\(p = -21\)
Если \(x_2 = -6\), то
\(x_1 = -6 - 9 = -15\).
\(x_1 + x_2 = -p\)
\(-15 + (-6) = -p\)
\(-21 = -p\)
\(p = 21\)
Ответ: \(p = 21\) или \(p = -21\).
Пояснения:
Мы использовали теорему Виета:
\( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}. \)
Из условия \( (x_1 - x_2)^2 = 81\), получаем
\(x_1 - x_2 = \pm9\).
Составили систему из двух уравнений для двух случаев:
\( \begin{cases} x_1 - x_2 = 9 \\ x_1 \cdot x_2 = 90 \end{cases} \) и \( \begin{cases} x_1 - x_2 = -9 \\ x_1 \cdot x_2 = 90 \end{cases} \).
Решив каждую систему способом подстановки, определили, что \(p = 21\) или \(p = -21\).
№772 учебника 2013-2022 (стр. 172):
\[P = a + 2b.\]
\(26 \leq a \leq 28\) и \(41 \leq b \leq 43\)
\(2\cdot41 \leq 2b \leq 2\cdot 43\)
\(82 \leq 2b \leq 86\)
\(26 + 82 \leq a + 2b \leq 28 + 86\)
\(108 \leq P \leq 114\)
Ответ: наименьшее значение периметра 108 мм, наибольшее значение периметра 114 мм.
Пояснения:
Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. У равнобедренного треугольника боковые стороны равны, поэтому сложение можно заменить умножением, тогда периметр равнобедренного треугольника с основанием \(a\) и боковой стороной \(b\) равен:
\[P = a + 2b.\]
При оценке периметра используем то, что:
- если части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, знак неравенства сохраняется;
- если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.
Вернуться к содержанию учебника