Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№768 учебника 2023-2025 (стр. 177):
Докажите, что если сумма коэффициентов квадратного уравнения \[ax^2 + bx + c = 0\] равна нулю, то один из корней уравнения равен 1. Используя это свойство, решите уравнение:
а) \(2x^2 - 41x + 39 = 0\);
б) \(17x^2 + 243x - 260 = 0\).
№768 учебника 2013-2022 (стр. 172):
Пусть \(3 < a < 4\) и \(4 < b < 5\). Оцените:
а) \(a + b\);
б) \(a - b\);
в) \(ab\);
г) \(\dfrac{a}{b}\).
№768 учебника 2023-2025 (стр. 177):
Вспомните:
№768 учебника 2013-2022 (стр. 172):
Вспомните:
№768 учебника 2023-2025 (стр. 177):
\(ax^2 + bx + c = 0\)
\(a + b + c=0\)
\(b = - a-c \)
\(b= -(a+c)\)
\(ax^2 - (a+c)x + c = 0\)
\(D = b^2 - 4ac = \)
\(=(-(a + c))^2 - 4ac =\)
\(=a^2 + 2ac + c^2 - 4ac =\)
\(=a^2 -2ac +c^2 = (a-c)^2 \ge0\)
1 случай
Если \(a = c\), то \(D = 0\) и уравнение имеет один корень.
\(x = -\frac{-(a+c)}{2\cdot a} = \frac{с+c}{2\cdot с}=\frac{2c}{2c} = 1\).
2 случай
Если \(a \neq c\), то \(D > 0\) и уравнение имеет два корня.
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)
1) Если \(a > c\), то
\(\sqrt D = \sqrt{(a - c)^2}= |a-c| = a-c\)
\(x_{1} = \frac{(a+c) + (a-c) }{2a} =\)
\(=\frac{a+c + a-c }{2a} = \frac{2a}{2a} = 1 \)
\(x_{2} = \frac{(a+c) - (a-c) }{2a} =\)
\(=\frac{a+c - a+c }{2a} = \frac{2c}{2a} = \frac{c}{a} \)
2) Если \(a < c\), то
\(\sqrt D = \sqrt{(a - c)^2}= |a-c| = c-a\)
\(x_{1} = \frac{(a+c) + (c-a) }{2a} =\)
\(=\frac{a+c +c-a }{2a} = \frac{2c}{2a} = \frac{c}{a} \)
\(x_{2} = \frac{(a+c) - (c-a) }{2a} =\)
\(=\frac{a+c - c+a }{2a} = \frac{2a}{2a} = 1 \)
Что и требовалось доказать.
а) \(2x^2 - 41x + 39 = 0\).
\(a = 2\), \(b = -41\), \(c = 39\)
\(2 - 41 + 39 = 0\), поэтому \(x_1 = 1\).
\( x_2 = \frac{c}{a} = \frac{39}{2} = 19,5\)
Ответ: \(x_1 = 1, \; x_2 = 19,5.\)
б) \(17x^2 + 243x - 260 = 0\)
\(a = 17\), \(b = 243\), \(c = -260\)
\(17 + 243 - 260 = 0\), поэтому \(x_1 = 1\).
\( x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-260}{17} =-15\frac{5}{17}\)
| - | 2 | 6 | 0 | 1 | 7 | |||||||||
| 1 | 7 | 1 | 5 | |||||||||||
| - | 9 | 0 | ||||||||||||
| 8 | 5 | |||||||||||||
| - | 5 | 0 |
Ответ: \(x_1 = 1, \; x_2 = -15\frac{5}{17}.\)
Пояснения:
В задаче используется полезное: если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, то корень \(x=1\). Это следует из того, что при подстановке \(x=1\) уравнение обращается в тождество.
Из доказательства данного свойства следует то, что один из корней равен единице, а другой равен отношению коэффициентов \(c\) и \(a\), то есть \(x_1 = 1\) и \( x_2 = \frac{c}{a}\).
№768 учебника 2013-2022 (стр. 172):
а) \(3 < a < 4,\; 4 < b < 5 \)
\(3+4 < a+b < 4+5\)
\(7 < a+b < 9\)
б) \(3 < a < 4,\; 4 < b < 5\)
\(a - b = a + (-b)\)
\(-5 < -b < -4\)
\(3+(-5) < a+(-b) < 4+(-4)\)
\(-2 < a-b < 0\)
в) \(3 < a < 4,\; 4 < b < 5 \)
\(3\cdot 4 < ab < 4\cdot 5\)
\(12 < ab < 20\)
г) \(3 < a < 4,\; 4 < b < 5 \)
\(\frac{a}{b} = a\cdot \frac1b\)
\(\frac15 < \frac1b < \frac14 \)
\(3\cdot\dfrac{1}{5} < a\cdot\dfrac{1}{b} < 4\cdot\dfrac{1}{4}\)
\(\dfrac{3}{5} < \dfrac{a}{b} < 1\)
Пояснения:
Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.
Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых - положительные числа, то получится верное неравенство.
При выполнении вычитания неравенств, учитываем то, что вычитание можно заменить сложением с противоположным числом:
\(a - b = a + (-b)\).
При выполнении деления неравенств, учитываем то, что деление можно заменить умножением делимого на число обратное делителю: \(\frac{a}{b} = a\cdot \frac1b\).
Свойства числовых неравенств:
- если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный;
- если \(x\) и \(y\) - положительные числа и \(x < y\), то \(\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{y}\).
Вернуться к содержанию учебника