Упражнение 764 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^2 - 5\sqrt{2}x + 12 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 5\sqrt{2}\),  \(c = 12\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

 \( = ( -5\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = \)

\(=25\cdot 2 - 48 =50 - 48 = 2\),

\(\sqrt D = \sqrt2\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).

\(x_1 = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}= \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\),

\(x_2 = \frac{5\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}= \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\),

Проверка по теореме Виета:

1) \(x_1 + x_2 = 5\sqrt{2}\)

\(3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\)

\( 5\sqrt{2}= 5\sqrt{2}\) — верно.

2) \(x_1 \cdot x_2 = 12\)

\(3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 12\)

\(6\cdot2 = 12\)

\(12 = 12\) — верно.

Ответ: \(3\sqrt2\);  \(2\sqrt2\).

б) \(x^2 + 2\sqrt{3}x - 72 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 2\sqrt{3}\),  \(c = -72\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

\(= (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) =\)

\(=4\cdot3 +288 =12 + 288 = 300\),

\(\sqrt D=\sqrt{300} =\sqrt{100\cdot3}= 10\sqrt{3}.\)

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).

\(x_1 = \frac{-2\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{2}= \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\).

\(x_2 = \frac{-2\sqrt{3} - 10\sqrt{3}}{2}= \frac{-12\sqrt{3}}{2} = -6\sqrt{3}\).

Проверка по теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = -2\sqrt{3}\)

\(4\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = -2\sqrt{3}\)

\(-2\sqrt{3} = -2\sqrt{3}\) — верно.

\(x_1 \cdot x_2 =-72\)

\(4\sqrt{3} \cdot (-6\sqrt{3}) = -72\)

\(-24\cdot3= -72\)

\(-72 = - 72\) — верно.

Ответ: \(4\sqrt{3}\);  \(-6\sqrt{3}\).

в) \(y^2 - 6y + 7 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c = 7\)

\( D=b^2 - 4ac= (-6)^2 - 4 \cdot 7 =\)

\(=36 - 28 = 8\),

\(\sqrt D = \sqrt{8} = \sqrt{4\cdot2} = 2\sqrt{2}\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).

\(y_1 = \frac{6 + 2\sqrt{2}}{2} = \frac{\cancel2(3 + \sqrt{2})}{\cancel2}=\)

\(=3 + \sqrt{2}.\)

\(y_2 = \frac{6 - 2\sqrt{2}}{2} = \frac{\cancel2(3 - \sqrt{2})}{\cancel2}=\)

\(= 3 - \sqrt{2}.\)

Проверка по теореме Виета:

\(y_1 + y_2 = 6\)

\((3+\sqrt{2}) + (3-\sqrt{2}) = 6\)

\(3+\cancel{\sqrt{2}} + 3-\cancel{\sqrt{2}} = 6\)

\(6=6\) — верно.

\(y_1 \cdot y_2 =7\)

\((3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2}) = 7\)

\(3^2 - (\sqrt2)^2 = 7\)

\(9 - 2 = 7\) — верно.

Ответ: \(3+\sqrt{2}\);  \(3-\sqrt{2}\).

г) \(p^2 - 10p + 7 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -10\),  \(c = 7\)

\( D=b^2 - 4ac= (-10)^2 - 4 \cdot 7 = \)

\(=100 - 28 = 72\).

\(\sqrt D = \sqrt{72} =\sqrt{36\cdot2}= 6\sqrt{2}.\)

\(p_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(p_1 = \frac{10 + 6\sqrt{2}}{2}=\frac{\cancel2(5 + 3\sqrt{2})}{\cancel2} =\)

\(=5 + 3\sqrt{2}.\)

\(p_2 = \frac{10 - 6\sqrt{2}}{2}=\frac{\cancel2(5 - 3\sqrt{2})}{\cancel2} =\)

\(=5 - 3\sqrt{2}.\)

Проверка по теореме Виета:

\(p_1 + p_2 =10\)

\((5+3\sqrt{2}) + (5-3\sqrt{2}) = 10\)

\(5+\cancel{3\sqrt{2}} + 5-\cancel{3\sqrt{2}} = 10\)

\(10 = 10\) — верно.

\(p_1 \cdot p_2 =7\)

\((5+3\sqrt{2})(5-3\sqrt{2}) =7\)

\(5^2 - (3\sqrt2)^2 = 7\)

\(25 - 9\cdot2 = 7\)

\(25 - 18 = 7\)

\(25 - 18 = 7\)

\(7 = 7\) — верно.

Пояснения:

Каждое квадратное уравнение решаем через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). При положительном дискриминанте уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\)

Теорема Виета утверждает: если уравнение имеет вид \(x^2 + bx + c = 0\), то его корни \(x_1\) и \(x_2\) удовлетворяют:

\(x_1 + x_2 = -b, \quad x_1 \cdot x_2 = c.\)

Во всех четырёх уравнениях найденные корни удовлетворяют этим соотношениям.

Приемы и формулы, использованные при вычислениях:

- Свойства степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

- Свойства корня:

\((\sqrt a)^2 = a\);

\(\sqrt{ab} = \sqrt a\cdot \sqrt b\).

Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

- Подобные слагаемые:

\(a\sqrt c \pm b\sqrt c = (a \pm b)\sqrt c\).

а) \(\dfrac{8x^2 - 3}{5} - \dfrac{5 - 9x^2}{4} = 2\)   \(/\times 20\)

\(4(8x^2 - 3) - 5(5 - 9x^2) = 40\)

\(32x^2 - 12 - 25 + 45x^2 = 40.\)

\(77x^2 - 37 = 40\)

\(77x^2 = 40 + 37\)

\(77x^2 = 77.\)

\(x^2 = 1 \)

\(x = \pm\sqrt1\)

\(x = \pm 1.\)

Ответ: \(-1;   1\).

б) \(\dfrac{2}{x^2 - x + 1} - \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{2x - 1}{x^3 + 1}\)

\(\dfrac{2}{x^2 - x + 1} - \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{2x - 1}{(x+1)(x^2 - x + 1)}\) \(/\times (x + 1)(x^2-x+1)\)

ОДЗ: \(x^3 + 1 \neq 0\)

          \(x^3 \neq -1\)

          \(x \neq -1\)

\(2(x + 1)-(x^2-x+1)=2x-1\)

\(\cancel{2x} + 2 - x^2 +x-1 - \cancel{2x} + 1 =0\)

\(-x^2 + x + 2 = 0\)   \(/\times (-1)\)

\(x^2 - x - 2=0\)

\(a = 1\),  \(b = -1\),  \(c=-2\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-2) = \)

\(=1 + 8 = 9\),   \(\sqrt D = 3\).

\(x_1 = \frac{-(-1) + 3}{2\cdot1} = \frac42=2\).

\(x_2 = \frac{-(-1) - 3}{2\cdot1} = \frac{-2}{2}=-1\) - не подходит по ОДЗ.

Ответ: \(x = 2.\)

в) \(\dfrac{10}{x^2 - 4} - \dfrac{3}{2x - 4} = \dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{10}{(x-2)(x + 2)} - \dfrac{3}{2(x - 2)} = \dfrac{1}{2}\)  \(/\times2(x-2)(x+2)\)

ОДЗ: \(x - 2 \neq 0\)  и  \(x + 2 = 0\)

         \(x \neq 2\)              \(x \neq -2\)

\(20 - 3(x+2) =(x-2)(x+2)\)

\(20 -3x -6 = x^2 - 4\)

\(14 - 3x = x^2 - 4\)

\(x^2 - 4 - 14 + 3x = 0\)

\(x^2 +3x -18 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 3\),  \(c = -18\)

\(D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4\cdot1\cdot(-18) =\)

\( = 9 + 72 = 81\),   \(\sqrt D = 9\)

\(x_1 = \frac{-3 + 9}{2\cdot1} = \frac62 = 3\).

\(x_2 = \frac{-3 - 9}{2\cdot1} = \frac{-12}{2} = -6\).

Ответ: \(3,  -6.\)

г) \(x - \dfrac{x^2 - 17}{x - 3} = \dfrac{5}{x}\) \(/\times x(x-3)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)  и  \(x-3\neq 0\)

                          \(x\neq3\)

\(x^2(x-3) - x(x^2 - 17) = 5(x-3)\)

\(\cancel{x^3} - 3x^2 - \cancel{x^3} + 17x = 5x - 15\)

\(-3x^2 + 17x - 5x + 15=0\)

\(-3x^2 + 12x + 15 = 0\)    \(/ : (-3)\)

\(x^2 - 4x - 5 = 0.\)

\(a = 1\),  \(b = -4\),  \(c = -5\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-5) = \)

\(=16 + 20=36\),   \(\sqrt D = 6\).

\(x_1 = \frac{-(-4) + 6}{2\cdot1} = \frac{10}{2} = 5\).

\(x_2 = \frac{-(-4) - 6}{2\cdot1} = \frac{-2}{2} = -1\).

Ответ: \(5,\; -1.\)

Пояснения:

Уравнение в пункте а) целое. Чтобы решить его, домножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. После получаем уравнение без знаменателей, упростив которое, получаем неполное квадратное уравнение вида \(x^2 = b\), которое имеет два корня: \(x_1 = \sqrt b\) и \(x_2 = -\sqrt b\).

Уравнения из пунктов б), в) и г) дробные рациональные уравнения.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c=0\) решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\).

Если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).