Упражнение 1060 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(x^2 - (2b - 2)x + b^2 - 2b = 0\)

\(A = 1\),  \(B =-(2b - 2)\), 

\(C = b^2 - 2b\)

\( D = B^2 - 4AC=\)

\(= (2b - 2)^2 - 4(b^2 - 2b) =\)

\(=\cancel{4b^2} - \cancel{8b} + 4 - \cancel{4b^2} + \cancel{8b} =\)

\(=4 >0 \) - уравнение имеет 2 корня.

\(\sqrt D = \sqrt{4} = 2\)

\(x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} =\)

\(x_1= \frac{2b - 2 + 2}{2} = \frac{2b}{2}=b\)

\(x_2= \frac{2b - 2 - 2}{2} = \frac{2b - 4}{2}=\)

\(=\frac{\cancel2(b - 2)}{\cancel2}=b-2\)

\( \begin{cases} -5 < b - 2 < 5,\\ -5 < b < 5. \end{cases} \)

\( \begin{cases} -5 + 2 < b - 2 + 2 < 5 + 2,\\ -5 < b < 5. \end{cases} \)

\( \begin{cases} -3 < b  < 7,\\ -5 < b < 5. \end{cases} \)

Ответ: при \(b \in (-3;\,5).\)

Пояснения:

При решении учитываем то, что квадратное уравнение

\(Ax^2 + Bx + C=0\) имеет два корня в том случае, когда дискриминант

\(D = B^2-4AC > 0\), и тогда корни уравнения:

\(x_{1,2} =\frac{-B \pm \sqrt D}{2A}\).

По условию корни уравнения должны принадлежать интервалу \((-5; 5)\). Поэтому, найдя корни уравнения \(x_1\) и \(x_2\), мы рассматриваем систему из двух двойных неравенств относительно переменной \(b\).

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении первого неравенства системы используем то, что если к частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

а) \( 5\sqrt{2} + 3\sqrt{5} < 3\sqrt{7} + \sqrt{45}\)

\( \sqrt{2\cdot 25} + \sqrt{5\cdot 9} < \sqrt{7\cdot 9} + \sqrt{45}\)

\( \sqrt{50} + \sqrt{45} < \sqrt{63} + \sqrt{45}\)

\( \sqrt{50} <\sqrt{63} \)

б) \( 6\sqrt{2} - 2\sqrt{7} > 4\sqrt{3} - \sqrt{28} \)

\( \sqrt{2\cdot 36} - \sqrt{7 \cdot 4}>\sqrt{3\cdot16} - \sqrt{28} \)

\( \sqrt{72} - \sqrt{28}>\sqrt{48} - \sqrt{28} \)

\( \sqrt{72} > \sqrt{28} \)

в) \( 5\sqrt{3} + 3\sqrt{5} < \sqrt{75} + 7\sqrt{2} \)

\( \sqrt{3\cdot25} + \sqrt{5\cdot9} < \sqrt{75} + \sqrt{2\cdot49} \)

\( \sqrt{75} + \sqrt{45} < \sqrt{75} + \sqrt{98} \)

\(\sqrt{45} < \sqrt{98} \)

г) \( \sqrt{112} - 2\sqrt{5} > 4\sqrt{7} - \sqrt{23} \)

\( \sqrt{112} - \sqrt{5\cdot4} > \sqrt{7\cdot16} - \sqrt{23} \)

\( \sqrt{112} - \sqrt{20} > \sqrt{112} - \sqrt{23} \)

\( \sqrt{20} < \sqrt{23} \)

Пояснения:

Приемы использованные при сравнении:

1) \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}\).

2) Чем больше подкоренное выражение, тем больше значение самого корня.

3) Если одно из слагаемых в суммах одинаковое, то сравнение выполняют по второму слагаемому: чем больше второе слагаемое, тем больше сумма (пункты а) и в)).

4) Если в разностях вычитаемые одинаковые, то сравнение выполняют по уменьшаемым, чем больше уменьшаемое, тем больше разность (пункт б)).

5) Если в разностях одинаковые уменьшаемые, то сравнение выполняют по вычитаемым, чем больше вычитаемое, теме меньше разность (пункт г)).