Упражнение 1092 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1) 1. Промежуток \([0;40)\):

\(p(t)=2t+20\).

\(p(0)=2\cdot 0+20=20\),

\(p(40)=2\cdot 40+20=100\).

Температура возрастает.

2.  Промежуток \([40;60]\):

\(p(t)=100\).

\(p(40)=100\), \(p(60)=100\).

Температура постоянна.

3.  Промежуток \((60;150]\):

\(p(t)=-\dfrac{2}{3}t+140\).

\(p(60)= -\dfrac{2}{3}\cdot 60+140=100\),

\(p(150)= -\dfrac{2}{3}\cdot 150+140=40\).

Температура убывает.

2) \(p = \begin{cases} 20t + 20, если \; 0 \le t < 40, \\ 100, если \; 40 \le t \le 60, \\ -\frac23t + 140, если \; 60 < t \le 150. \end{cases}\)

1) 1. \(p(t)=2t+20\), 0 \( \le t < 40\)

2.  \(p(t)=100\), \(40 \le t \le 60\)

3. \(p(t)=-\dfrac{2}{3}t+140\), \(60 < t \le 150\).

3) На промежутке [0; 40) вода нагревается.

На промежутке [40; 60] вода кипит и имеет постоянную температуру.

На промежутке (60; 150] вода остывает

Пояснения:

Использованные факты.

1) Линейная функция \(y=kx+b\) возрастает при \(k>0\) и убывает при \(k<0\).

2) Постоянная функция \(y=C\) имеет горизонтальный график и не меняет значения.

К пункту 1.

На участке \([0;40)\) коэффициент наклона \(k=2>0\), поэтому температура повышается равномерно с 20 °C до 100 °C. На участке \([40;60]\) функция постоянна: поддержание температуры на уровне 100 °C. На участке \((60;150]\) коэффициент наклона отрицателен \(k=-\dfrac23\), поэтому температура равномерно понижается со 100 °C до 40 °C.

К пункту 2 (как строить график).

Чертим три кусочка:

— Прямая через точки \((0,20)\) и \((40,100)\) (возрастающий отрезок).

— Горизонтальный отрезок на уровне \(p=100\) от \(t=40\) до \(t=60\).

— Прямая, проходящая через \((60,100)\) и \((150,40)\) (убывающий отрезок).

Во всех стыках значения совпадают, значит график непрерывен в \(t=40\) и \(t=60\).

К пункту 3 (физический смысл).

\([0;40]\): происходит нагрев воды со скоростью \(\dfrac{\Delta p}{\Delta t}=2\ \text{°C/мин}\) — температура увеличивается линейно от 20 °C до 100 °C.

\([40;60]\): поддержание кипения/термостат — температура удерживается постоянной \(100\) °C.

\([60;150]\): остывание воды при комнатных условиях — температура линейно падает со скоростью \(\dfrac{2}{3}\ \text{°C/мин}\) от \(100\) °C до \(40\) °C.

\(x_1\) и \(x_2\) корни уравнения

\(n x^2 - 5x + 1 = 0\)

\(x_1^{-2} + x_2^{-2} = 13\)

\(n - ?\)

По теореме Виета:

\( x_1 + x_2 = \frac{5}{n}, \quad x_1 x_2 = \frac{1}{n} \)

\( x_1^{-2} + x_2^{-2} = 13\)

\(\frac{1}{ x_1^{2}} ^{\color{blue}{\backslash x_2^{2}}} + \frac{1}{ x_2^{2}} ^{\color{blue}{\backslash x_1^{2}}} =13\)

\(\frac{x_2^2 + x_1^2}{(x_1 x_2)^2}=13 \)

\(\frac{(x_2^2 +2x_1x_2+ x_1^2) - 2x_1x_2}{(x_1 x_2)^2}=13\)

\(\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{(x_1 x_2)^2}=13 \)

\(\frac{(\frac{5}{n})^2 - 2\cdot\frac{1}{n}}{(\frac{1}{n})^2}=13 \)

\(\frac{\frac{25}{n^2} - \frac{2}{n} ^{\color{blue}{\backslash n}} }{\frac{1}{n^2}}=13 \)      \(/\times\frac{1}{n^2}\)

\(\frac{25}{n^2} - \frac{2n}{n^2}=13\cdot\frac{1}{n^2}\)

\(\frac{25-2n}{n^2} =\frac{13}{n^2}\)        \(/\times n^2\)

\(25 - 2n = 13\)

\(-2n = 13 - 25\)

\(-2n = -12\)

\(n = \frac{-12}{-2}\)

\(n = 6\)

Ответ: \(n = 6.\)

Пояснения:

В решении использовали:

- Теорему Виета: \[\; x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \; x_1 x_2 = \frac{c}{a}.\]

- Степень с отрицательным показателем: \[a^{-m}=\frac{1}{a^m},\] тогда при обращении степеней имеем: \[ x_1^{-2} + x_2^{-2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 x_2)^2}. \]

- Квадрат суммы двух выражений: \[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,\] тогда \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2, \] тогда в результате преобразований получим:

\(\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{(x_1 x_2)^2}=13 \)

После подстановки в полученное выражение

\( x_1 + x_2 = \frac{5}{n}, \quad x_1 x_2 = \frac{1}{n} \)

и упрощения получилось линейное уравнение, из которого нашли, что \(n = 6.\)