Упражнение 1257 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 280

а) \( \dfrac{21^{m}}{3^{m - 1} \cdot 7^{m + 1}} = \dfrac{(3 \cdot 7)^{m}}{3^{m - 1} \cdot 7^{m + 1}} = \)

\(=\dfrac{3^{m} \cdot 7^{m}}{3^{m - 1} \cdot 7^{m + 1}} =\)

\(=3^{m - (m - 1)} \cdot 7^{m - (m + 1)} =\)

\(=3^{\cancel{m} - \cancel{m} + 1} \cdot 7^{\cancel{m} - \cancel{m} - 1} =\)

\(=3^{1} \cdot 7^{-1} =3 \cdot \frac17= \dfrac{3}{7} \) - не зависит от \(m\).

б) \( \dfrac{6^{m} \cdot 10^{m + 1}}{2^{2m} \cdot 15^{m - 1}} =\)

\(=\dfrac{(2 \cdot 3)^{m} \cdot (2 \cdot 5)^{m + 1}}{2^{2m} \cdot (3 \cdot 5)^{m - 1}} =\)

\(=\dfrac{2^{m} \cdot 3^{m} \cdot 2^{m + 1} \cdot 5^{m + 1}}{2^{2m} \cdot 3^{m - 1} \cdot 5^{m - 1}}=\)

\(=\dfrac{2^{m+m+1} \cdot 3^{m} \cdot 5^{m + 1}}{2^{2m} \cdot 3^{m - 1} \cdot 5^{m - 1}}=\)

\(=\dfrac{2^{2m+1} \cdot 3^{m} \cdot 5^{m + 1}}{2^{2m} \cdot 3^{m - 1} \cdot 5^{m - 1}}=\)

\(=2^{ \cancel{2m} + 1 - \cancel{2m}} \cdot 3^{m - (m - 1)} \cdot 5^{m + 1 - (m - 1)} =\)

\(=2^{1} \cdot 3^{ \cancel{m} - \cancel{m} + 1} \cdot 5^{ \cancel{m} + 1 - \cancel{m} + 1} =\)

\(=2^{1} \cdot 3^{1} \cdot 5^{2} = 2 \cdot 3 \cdot 25 = 150\) - не зависит от \(m\).

Пояснения:

Использованы свойства степеней:

\( a^{m}a^{n} = a^{m+n}, \)

\(\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}, \)

\((ab)^{n} = a^{n}b^{n}.\)

При сокращении одинаковых оснований показатель \(m\) исчезает, поэтому выражения не зависят от \(m\).